Réflexion dans les miroirs plans et sphériques
Résumé :
Dans cette leçon, nous examinerons les principes de base de l’optique géométrique, en nous concentrant sur la réflexion dans les miroirs plans et sphériques. Elle définit des termes clés tels que rayon lumineux, objet ponctuel et image ponctuelle. Elle aborde également la règle des signes pour les miroirs et la relation de Descartes pour calculer la position des images. Les caractéristiques des miroirs concaves et convexes, et leur impact sur la formation d’images réelles et virtuelles sont également explorées. Enfin, le coefficient de grandissement est introduit pour décrire le changement de taille et d’orientation de l’image par rapport à l’objet original.
Objectifs d’apprentissage
À la fin de la leçon, l’étudiant sera capable de :
- Comprendre l’optique géométrique comme une simplification de l’optique électromagnétique qui facilite la compréhension de la formation des images à l’aide de la géométrie et du calcul.
- Comprendre les lois de la réflexion et de la réfraction et leur application dans la formation des images avec des miroirs et des lentilles.
- Comprendre et différencier des concepts clés tels que rayon lumineux, rayon projeté, objet ponctuel, et image ponctuelle.
- Appliquer la règle des signes pour les miroirs afin de déterminer la position des objets et des images.
- Analyser la formation d’images dans les miroirs plans, en mettant en évidence la symétrie et la nature virtuelle des images.
Table des matières
Idées de base en Optique Géométrique
Définitions
Règle des signes pour les miroirs
Miroirs plans et réflexion spéculaire
Objet ponctuel devant un miroir plan
Objet étendu devant un miroir plan
Réflexion dans les Miroirs sphériques
Relation entre la position de l’objet et de l’image dans un miroir sphérique
Cas limite lorsque s\to +\infty
Réflexion des objets étendus dans les miroirs sphériques
Miroirs concaves et convexes
Le coefficient de grandissement et son interprétation
Idées de base en Optique Géométrique
L’optique géométrique est une simplification de l’optique électromagnétique qui permet de comprendre facilement la formation des images et leurs caractéristiques. À travers la Géométrie et le Calcul, il est possible d’inférer les lois de la réfraction et de la réflexion qui permettent de comprendre la formation des images avec des miroirs et des lentilles. Dans cette première partie, nous étudierons les concepts de base de l’optique géométrique et la réflexion dans les miroirs plans et sphériques.
Pour commencer à aborder ces idées et faire des inférences, nous définirons quelques concepts clés :
Définitions
| Rayon lumineux | C’est la ligne imaginaire qui représente la trajectoire de propagation de la lumière. Si la source est un objet ponctuel, la lumière en émerge sous forme d’ondes (électromagnétiques) sphériques ; les rayons lumineux ont donc la direction du flux d’énergie ou, si on préfère, la direction du vecteur de Poynting. |
| Rayon projeté | Ligne imaginaire qui représente l’extension d’un rayon lumineux. |
| Objet ponctuel ou Source ponctuelle | Point de l’espace d’où proviennent les rayons lumineux, qu’ils soient propres ou réfléchis. L’objet peut être ponctuel ou étendu ; s’il est ponctuel, il n’a pas de forme, seulement une position ; s’il est étendu, il a un volume fini non nul et une surface qui l’entoure. |
| Image ponctuelle | Lieu de l’espace où convergent les rayons lumineux ou les rayons projetés. |
| Réflexion | Processus par lequel les rayons lumineux changent de direction en frappant une surface réfléchissante. |
| Réfraction | Processus par lequel les rayons lumineux changent de direction et de vitesse en passant d’un milieu à un autre. |
Règle des signes pour les miroirs
Un concept utile pour systématiser l’optique géométrique est la règle des signes que nous introduisons ci-dessous :
- Position de l’objet : Si l’objet se trouve du côté où la lumière arrive à la surface réfléchissante, alors la grandeur associée à sa position s est un nombre positif, et négatif dans le cas contraire.
- Position de l’image : Si l’image se trouve du même côté que la lumière sort de la surface réfléchissante, la grandeur associée à sa position s^\prime sera positive, et négative dans le cas contraire.
Dans un miroir plan, l’équation s=-s^\prime. est toujours vérifiée.
Miroirs plans et réflexion spéculaire
Le type le plus simple de surface réfléchissante est le miroir plan. Dans ces miroirs, on observe que tout rayon incident avec un angle \theta par rapport à la normale du miroir est réfléchi avec un angle \theta^\prime =\theta. Pour cette raison, un observateur voyant le rayon réfléchi percevra l’objet reflété comme étant derrière le miroir.
Objet ponctuel devant un miroir plan
L’image formée dans un miroir plan est symétrique et virtuelle. Symétrique signifie que la distance entre l’objet et le miroir est la même que celle entre l’image et le miroir, et virtuelle signifie que l’image est « derrière le miroir ».
Objet étendu devant un miroir plan
Si un observateur ignorait l’existence de l’objet étendu et du miroir, en recevant les rayons réfléchis, il les interpréterait comme provenant de l’image, comme si l’image était un objet réel.
Réflexion dans les Miroirs sphériques
Relation entre la position de l’objet et de l’image dans un miroir sphérique
Considérons un miroir sphérique avec un rayon de courbure r. Si nous plaçons un objet à une distance s du sommet, une image apparaîtra au point s^\prime, comme illustré :
Comme la somme des angles intérieurs d’un triangle est \pi[rad], nous avons :
\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}
De cela, on en déduit que \beta = 2\phi - \alpha et donc
\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.
Avec cette information, il est possible de déduire une relation entre les positions s et s^\prime de l’objet et de l’image, respectivement. Pour cela, nous observons que :
\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \end{array}
Maintenant, si l’objet est suffisamment éloigné du miroir, ou si le rayon de courbure est suffisamment grand, on peut supposer que les angles \alpha, \beta et \phi sont proches de zéro et, dans ce contexte, les approximations suivantes sont valides :
\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}
En utilisant ces approximations sur l’équation mise en évidence en vert, nous obtenons :
\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}
Enfin, en simplifiant les h et en remplaçant \displaystyle f = \frac{r}{2} nous obtenons
\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}
C’est ce qu’on appelle la « relation de Descartes » pour les miroirs sphériques de petite ouverture, où la valeur f correspond au foyer de la lentille.
Cas limite lorsque s\to+\infty
Si nous calculons la valeur de s^\prime et prenons la limite lorsque s\to+\infty, nous aurons :
\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}
\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f
En d’autres termes, si nous plaçons la source très loin, alors le rayon qui en sort et atteint le miroir suivra une trajectoire pratiquement horizontale et, en se réfléchissant dans le miroir, passera par le foyer comme illustré :
Réflexion des objets étendus dans les miroirs sphériques
Les résultats que nous avons examinés jusqu’à présent nous permettront de déterminer géométriquement l’endroit où l’image d’un objet se formera lorsque la lumière qu’il émet ou reflète se réfléchit dans un miroir sphérique. Pour ce faire, il suffit de noter que tous les rayons horizontaux se réfléchissent en passant par le foyer, que tous les rayons passant par le foyer se réfléchissent horizontalement et que localement (au point où le rayon heurte le miroir sphérique) le miroir se comporte comme un miroir plan, de sorte que l’angle d’incidence est égal à l’angle réfléchi.
Chaque point de l’objet étendu émet des rayons lumineux qui, après avoir été réfléchis par le miroir, se croisent au point correspondant de l’image.
Miroirs concaves et convexes
Les miroirs sphériques que nous avons examinés jusqu’à présent sont tous des exemples de miroirs concaves. Ce sont ceux dont la courbure est du côté d’où proviennent les rayons lumineux. Lorsque la courbure est orientée dans la direction opposée, on dit que le miroir est convexe. Lorsqu’on analyse géométriquement la formation des images dans ce type de miroirs, la première chose que l’on remarque est que les rayons réfléchis, au lieu de converger en un point, se dispersent ; pour trouver l’endroit où se forme l’image, il est donc nécessaire de projeter les rayons réfléchis, obtenant ainsi une image virtuelle.
À ce stade, nous devons prendre en compte les termes suivants :
- Image réelle : c’est lorsque l’image est formée par les rayons réfléchis, et se trouve donc en face du miroir.
- Image virtuelle : c’est lorsque l’image est formée par les rayons projetés, et se trouve donc « derrière le miroir ».
Le coefficient de grandissement et son interprétation
Comme nous avons pu le voir dans les figures précédentes, lorsque la réflexion se produit dans des miroirs sphériques, concaves ou convexes, l’image peut changer de taille ou d’orientation par rapport à l’objet original. La question qui se pose alors est la suivante : existe-t-il un moyen de modéliser cet agrandissement ou cette diminution et ce changement d’orientation de l’image ? La réponse est oui et peut être déduite des relations de similitude des triangles dans toutes les figures que nous avons déjà examinées. Nous présenterons ci-dessous l’analyse pour un miroir concave ; pour les miroirs convexes, le raisonnement est similaire. Pour suivre correctement chaque étape, n’oubliez pas de garder à l’esprit les règles des signes pour les miroirs que nous avons vues au début.
Comme les triangles bleu et vert sont similaires, le coefficient de grandissement m=y^\prime/y qui nous indique l’agrandissement de l’image réfléchie par rapport à la taille de l’objet original peut être calculé à partir de la relation suivante :
\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}
Ici, le y^\prime est accompagné d’un signe moins car l’image est orientée vers le bas (elle est inversée), et selon la règle des signes pour les miroirs, s et s^\prime sont tous deux positifs. En conséquence, nous avons :
\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}
Autrement dit, en connaissant les positions de l’objet et de l’image, il est possible de calculer le coefficient de grandissement du miroir.
Cette formule peut être combinée avec la relation de Descartes pour calculer le coefficient de grandissement à partir du foyer et de la position de l’objet. Il suffit de rappeler que
\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.
et nous aurons :
\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}
De cela, nous obtenons :
- Si |m|\lt 1, l’image est réduite ; si |m|\gt 1, l’image est agrandie ; et si |m|=1, elle conserve sa taille.
- Si m\gt 0, l’image conserve l’orientation de l’objet original ; et si m\lt 0, l’image est inversée par rapport à l’objet original.
- L’image est réduite à un point lorsque m=0.