La Probabilité Conditionnelle

Quelle est la probabilité qu’un événement A se produise étant donné que B s’est déjà produit ? Le calcul de ce type de probabilités implique le concept de probabilité conditionnelle. Dans ce qui suit, nous étudierons la probabilité conditionnelle, sa définition et comment, à partir de cela, on peut inférer les relations de dépendance et d’indépendance entre les événements.

Supposons que nous voulions mesurer la prévalence des caries chez les consommateurs réguliers de sucreries. Si nous examinons un espace d’échantillonnage constitué de N personnes \Omega_N, nous verrons qu’il peut être divisé en 4 sous-ensembles :

• A:=\left\{ {Personnes\;qui\;ont\;des\;caries}\right\}
• A^c:=\left\{{Personnes\;qui\;n'ont\;PAS\;de\;caries}\right\}
• B:=\left\{ {Personnes\;qui\;mangent\;des\;sucreries\;régulièrement}\right\}
• B^c:=\left\{{Personnes\;qui\;ne\;mangent\;PAS\;de\;sucreries\;régulièrement}\right\}

À partir de cela, il est clair que A\cup A^c = \Omega_N et B\cup B^c = \Omega_N, mais A\cap B n’est pas nécessairement vide. Le scénario général est représenté par la figure suivante :

Ainsi, si nous nous rappelons la définition de la probabilité comme la limite des fréquences relatives, nous pourrons dire que la probabilité qu’une personne ait des caries étant donné qu’il est confirmé qu’elle consomme des sucreries, P(A|B) sera :

P(A|B) =\displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#B}

D’autre part, il est vrai que :

P(A\cap B) = \displaystyle \frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega_N}

↳ \#(A\cap B) = \#\Omega_N P(A\cap B)

P(B) =\displaystyle \frac{\#B}{\#\Omega_N}

↳ \#B = \#\Omega_N P(B)

Ainsi, si nous remplaçons ces deux dernières expressions dans P(A|B), nous aurons :

P(A|B) = \displaystyle \frac{\#\Omega_N P(A\cap B)}{\#\Omega_N P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Ceci constitue la définition suivante :

Définition formelle de la probabilité conditionnelle

DÉFINITION : La probabilité de A, étant donné que B s’est produit, P(A|B), est définie par la relation

P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}■

Dans la pensée courante, il y a souvent une confusion entre P(A|B) et P(B|A). Pour clarifier cette différence, examinons un exemple basé sur un cas extrême : Notons que si la totalité des footballeurs ont deux jambes, seule une infime partie des personnes ayant deux jambes sont des footballeurs.

Relation entre événements

Continuant avec l’exemple de la prévalence des caries chez les gens qui consomment régulièrement des sucreries. Si la consommation de sucreries rend les personnes plus susceptibles d’avoir des caries, alors il devrait en résulter que

P(A|B) \gt P(A).Ici, nous avons que B renforce A et nous disons donc qu’il y a une association positive entre les événements.

En revanche, si la consommation de sucreries prévient les caries, alors il devrait en résulter que :

P(A|B) \lt P(A).Dans ce cas, B inhibe A et nous disons donc qu’il y a une association négative entre les événements.

Et s’il n’y avait aucune relation entre ces deux événements, ni positive ni négative, alors il devrait en résulter que :

P(A|B) = P(A).De là, on fait l’inférence qui est présentée dans la plupart des textes de probabilités comme une définition :

Ce raisonnement montre la relation entre la probabilité conditionnelle et l’indépendance des événements.

DÉFINITION :Étant donné deux événements A et B, ils sont dits indépendants s’ils satisfont la relation suivante :

\color{black}{P(A\cap B)= P(A) P(B)}■

Indépendance entre événements et compléments d’événements

L’indépendance entre deux événements A et B est prouvée équivalente avec l’indépendance de A avec B^c, celle de A^c avec B, et celle de A^c avec B^c.

DÉMONSTRATION

Cette dernière expression se lit comme suit : « Du fait que A et B sont indépendants, on en déduit que A et B^c le sont également.

La démonstration dans le sens inverse se fait de manière similaire.

Et cette expression se lit comme suit : « Du fait que A et B^c sont indépendants, on en déduit que A et B le sont également.

Enfin, à partir de ces deux raisonnements, on a prouvé l’équivalence entre l’indépendance de A avec B et celle de A avec B^c.

Les autres équivalences prouvées peuvent être obtenues de manière similaire. Cela reste comme un défi pour le lecteur >:D