Formulation des Transformations de Galilée

La physique newtonienne repose sur le principe de la relativité modélisé à travers les Transformations de Galilée, où le temps est établi comme une coordonnée universelle pour tous les observateurs inertiels ; c’est-à-dire : t=t^\prime. Sous cette déclaration, la transformation linéaire reliant les observations de deux cadres de référence inertiels S et S^\prime examinée dans la classe sur le principe de la relativité restreinte prend la forme d’une transformation linéaire :

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array} [1]

elle prend la forme suivante lorsque les cadres inertiels S et S^\prime sont en configuration standard et S^\prime se déplace avec la vitesse v_{ss^\prime_x}\hat{x} par rapport à S

\begin{array}{rlr} {}t^\prime &= t \\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x}t \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array} [2]

La Transformation Inverse

D’une sorte de symétrie algébrique, nous pouvons écrire la transformation inverse :

\begin{array}{rl} t &= t^\prime \\ x &= x^\prime + v_{ss^\prime_x}t \\ y &= y^\prime \\ z &= z^\prime \end{array} [3]

Le Temps Absolu et la Somme des Vitesses

D’après la première équation des transformations de Galilée (l’une des deux, [2] ou [3]), il est évident que la coordonnée temporelle d’un événement ne dépend pas du cadre depuis lequel il est observé, tandis que la seconde permet d’obtenir ce qui est couramment compris comme le « bon sens » associé à la somme des vitesses. Si une particule se déplace avec une vitesse constante v_{ss^\prime_x} le long de l’axe \hat{x} de S, alors sa vitesse dans S^\prime est déterminée par

\displaystyle v^\prime_x = \frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{dx^\prime}{dt} = \frac{d}{dt}\left(x - v_{ss^\prime_x} t \right) = v_x - v_{ss^\prime_x}

Dérivant dans cette dernière expression montre que l’accélération de toute particule est la même dans S et dans S^\prime, c’est-à-dire : dv^\prime_x/dt^\prime = dv_x/dt.

La Géométrie Galiléenne de l’Espace et du Temps

Si nous considérons deux événements A et B qui ont des coordonnées (t_A,x_A,y_A,z_A) et (t_B,x_B,y_B,z_B), respectivement. Il est facile de voir que les quantités \Delta t = t_B - t_A et \Delta r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 sont séparément invariantes sous les transformations de Galilée, nous amenant à considérer l’espace et le temps comme des entités séparées. D’autre part, \Delta r^2 suggère que c’est une propriété géométrique de l’espace lui-même. Nous reconnaissons \Delta r^2 comme le carré de la distance entre les événements dans l’espace euclidien. Ceci définit la géométrie de l’espace et du temps dans le contexte de la mécanique newtonienne.

La Relativité de Galilée et les Lois Physiques

Appliquée à la Dynamique Newtonienne

Dans la section précédente, nous avons vu que, dans le contexte de la physique newtonienne, deux cadres inertiels différents observeront toujours les mêmes accélérations. Ceci, couplé à la seconde loi de Newton, implique que tous les cadres inertiels observeront toujours la même dynamique. C’est-à-dire :

\displaystyle F_x = m\frac{dv_x}{dt}= m\frac{dv^\prime_x}{dt^\prime} = F^\prime_x.

Cette dernière expression nous indique que la physique ne change pas lors de l’exécution des transformations de Galilée, ce qui revient à dire que : la physique est la même pour tous les observateurs inertiels.

Appliquée à la Propagation des Ondes

Alors que la persistance de la physique face aux changements d’observateurs inertiels est attendue, d’abord parce que c’est ce que nous observons en nous déplaçant, et ensuite parce que c’est ce qui a été obtenu à travers des calculs précédents, ce n’est pas toujours le cas. Le cas le plus notable d’un phénomène qui ne se conserve pas sous les transformations galiléennes est la propagation des ondes ; généralement, l’équation qui modélise la propagation d’une onde \psi dans l’espace et le temps est sous la forme

\displaystyle \nabla^2 \psi = \frac{1}{v_0^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} [4]

où v_0 est la vitesse de propagation de l’onde.

Quel effet les transformations de Galilée ont-elles sur la propagation des ondes ?

Pour cela, il y a une réponse courte et une réponse longue. La réponse courte est que « même en observant le même phénomène, différents observateurs inertiels verront une ‘physique différente' ». La réponse longue implique d’examiner comment l’équation de propagation des ondes change lorsque la transformation de Galilée est appliquée ; pour ce faire, nous prenons d’abord l’équation [4] et l’étendons sur chacune de ses coordonnées en obtenant :

\displaystyle \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v_0^2} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2}. [5]

Avec cette équation en main, nous devons maintenant utiliser les équations de [3] pour réexprimer les dérivées dans l’autre cadre inertiel.

Transformation des premières dérivées

En suivant les expressions de [3] et en dérivant chaque variable par rapport aux variables primées, nous obtenons :

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial z} = \frac{\partial t^\prime}{\partial t} = 1

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial t} = - v_{x_0}

Alors que toutes les autres sont annulées :

\displaystyle \frac{\partial t^\prime}{\partial x} = \frac{\partial t^\prime}{\partial y} = \frac{\partial t^\prime}{\partial z} = \frac{\partial x^\prime}{\partial y} = \frac{\partial x^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial t} = \frac{\partial z^\prime}{\partial x} = \frac{\partial z^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial t} = 0

Avec cela en main, nous pouvons maintenant calculer les dérivées de \psi en utilisant la règle de la chaîne :

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial x}}_{=1} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime} \underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime} \underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial x}}_{=0} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}.

Et de manière analogue pour les deux autres variables spatiales :

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}.

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}.

Cependant, la dérivée temporelle montrera certaines différences :

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} &= \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}\underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial t}}_{=-v_{x_0}} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}\underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}\underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}\underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial t}}_{=1}\\ &=\displaystyle -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}, \end{array}

Transformation des secondes dérivées

Pour la partie spatiale, nous pouvons continuer sans difficultés majeures, les résultats sont :

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2}. [6]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} [7]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} [8]

Mais la partie temporelle, comme nous pouvions déjà l’anticiper à partir des premières dérivées, montre de grandes différences :

\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &=\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\left( -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ & \displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) \end{array}

\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2}. [9]

Application des Transformations de Galilée à la Propagation des Ondes

Ainsi, il est possible de réaliser la transformation de Galilée sur l’équation de propagation des ondes en remplaçant les équations [6,7,8] et [9] par [5], ce qui donne :

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} = \frac{1}{v_0^2} \left(\color{red}{ v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2} \right). [10]

On observe que la forme de la propagation des ondes ne se maintient pas sous les transformations de Galilée en raison de l’apparition des termes supplémentaires marqués en rouge. Bien que cela n’ait pas de conséquences majeures pour l’instant, dans les cours futurs, nous verrons que c’est précisément le point qui « rompt », pour ainsi dire, avec la physique classique, ouvrant la voie à la relativité spéciale.