L’indice de réfraction

L’indice de réfraction est défini comme le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et la vitesse de la lumière dans ce milieu. Il s’agit d’une quantité sans dimension et elle est généralement représentée par la lettre n_k:

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

Où c est la vitesse de la lumière dans le vide et c_k est la vitesse de la lumière dans le milieu k.

Puisque la lumière se déplace toujours plus lentement dans un milieu que dans le vide, l’indice de réfraction est toujours supérieur ou égal à 1.

Le principe de Fermat

La vitesse de la lumière dépend du milieu dans lequel elle se déplace. Plus l’indice de réfraction du milieu est élevé, plus la vitesse de la lumière y est faible ; et par rapport à cela, le principe de Fermat est énoncé comme suit :

Lorsque la lumière se déplace d’un point à un autre, elle emprunte le chemin qui minimise le temps de parcours.

Ce principe reste valable même lorsque la lumière passe à travers différents milieux.

La Loi de Snell de la réfraction de la lumière

À partir du principe de Fermat, il est possible de formuler un problème d’optimisation qui permettra de déterminer la trajectoire que suivra un rayon lumineux lorsqu’il traverse différents milieux. C’est ce qui conduit finalement à la Loi de Snell, dont nous allons maintenant voir la formulation et la démonstration.

Supposons qu’un rayon parte d’un point A et arrive à un point B en traversant une interface qui sépare deux milieux avec des indices de réfraction n_1 et n_2 respectivement. Notre objectif sera de trouver une relation qui nous permette de calculer la trajectoire du rayon lumineux en suivant le principe de Fermat sur le temps de parcours minimal, et pour cela nous construisons le schéma suivant :

Le raisonnement commence par l’analyse de la forme du temps de parcours du rayon lumineux. On a :

\begin{array}{rl}{Temps de parcours} & =\displaystyle \frac{{Distance}}{{Vitesse}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{Distance dans le milieu 1}}{{Vitesse dans le milieu 1}} + \frac{{Distance dans le milieu 2}}{{Vitesse dans le milieu 2}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

Une fois cela fait, en maintenant fixes les points A et B, le temps de parcours est déterminé par le point x où le rayon touche l’interface entre les milieux. Avec cela, nous pouvons définir une fonction temporelle t(x) par

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

Maintenant, comme le principe de Fermat stipule que la lumière suit la trajectoire qui minimise le temps de parcours, il est possible à partir de là de trouver le x qui minimise la fonction t(x). Nous sommes en présence d’un problème d’optimisation.

En dérivant t par rapport à x, on obtient :

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

Maintenant, notons que :

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

Ainsi, en remplaçant ces éléments dans la dérivée du temps, on a :

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

Enfin, si le point x minimise la fonction t(x), alors la dérivée doit s’annuler, et on aura :

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

C’est la Loi de Snell pour la réfraction d’un rayon lumineux qui passe entre deux milieux et qui montre la relation entre l’angle d’incidence \theta_1 et l’angle de réfraction \theta_2.

Réfraction, réflexion et réflexion totale de la lumière

Nous avons vu que lorsque la lumière passe d’un milieu à un autre, elle se réfracte, mais en général, il s’agit d’une combinaison entre réfraction et réflexion ; et en fonction des indices de réfraction et de l’angle d’incidence du rayon lumineux, la réfraction peut disparaître, laissant place uniquement à la réflexion.

Supposons qu’un rayon lumineux se propage d’un matériau a à un autre b avec des indices de réfraction n_a et n_b respectivement. Si n_a \gt n_b, selon la Loi de Snell, on a :

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

Étant donné que n_a/n_b \gt 1, il en résulte que \sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a), ce qui signifie que le rayon réfracté s’éloigne de la normale. Cela implique qu’il doit exister un \theta_a\lt 90^o pour lequel \sin(\theta_b)=1 et, par conséquent, \theta_b=90^o, comme illustré dans la figure suivante.

L’angle d’incidence qui fait que le rayon se réfracte sur l’interface est connu sous le nom d’angle critique et satisfait la relation suivante :

\displaystyle \sin(\theta_{critique}) = \frac{n_b}{n_a}

Ce qui équivaut à dire :

\displaystyle \theta_{critique} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

Si \theta_a \gt \theta_{critique}, alors il y a réflexion totale.

Exercices :

1. Considérons un rayon lumineux qui passe de l’eau au verre comme illustré dans la figure suivante :
   
   L’indice de réfraction de l’eau est de n_1 = 1,33, et celui du verre est de n_2=1,52. Si un rayon lumineux qui passe de l’eau au verre frappe l’interface qui sépare les deux milieux avec un angle d’inclinaison de \theta_1 = 60^o par rapport à la normale, avec quel angle \theta_2 le rayon réfracté sortira-t-il ? SOLUTION
   En utilisant la Loi de Snell, on obtient :

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Loi de Snell
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1,33	; Indice de réfraction de l’eau
   (3)	n_2=1,52	; Indice de réfraction du verre
   (4)	\theta_1=60^o	; Angle d’incidence à l’interface du rayon lumineux
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1,33}{1,52}\sin(60^o)\right) \approx 49,268^o	; De (1,2,3,4), Angle de réfraction

   [vidéo]
2. Trois liquides séparés par deux interfaces ont les indices de réfraction suivants : n_1=1,33, n_2=1,41 et n_3=1,68,, et ils sont disposés comme illustré dans la figure suivante :Si le rayon qui passe du milieu avec indice n_1 à celui avec indice n_2 le fait en frappant l’interface avec un angle \theta_1=70^o, avec quel angle se réfractera-t-il lorsqu’il passera dans le milieu avec indice n_3 ? SOLUTION
   De manière analogue à l’exercice précédent, nous avons le raisonnement suivant :

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Loi de Snell pour le passage du milieu n1 au n2
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; Loi de Snell pour le passage du milieu n2 au n3
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; De (1,2)
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   Enfin, en remplaçant les données, on obtient :

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1,33}{1,68}\sin(70^o)\right) \approx 48,0667^o
   Notez que ce raisonnement montre que nous pouvons effectuer les calculs en prenant uniquement en compte les milieux d’entrée et de sortie du rayon, en ignorant complètement celui situé au milieu.
   
   [vidéo]
3. Depuis le fond d’une piscine, un rayon lumineux est dirigé vers l’interface entre l’air et l’eau. Déterminez l’angle d’incidence pour qu’il se produise une réflexion totale.
   SOLUTION
   L’angle critique est donné par :

   \displaystyle \theta_{critique}= \arcsin\left(\frac{1,00}{1,33}\right) \approx 48,7535^o

   [vidéo]