Équation de la droite et systèmes cartésiens

Résumé:
Dans ce cours, nous aborderons les bases de la géométrie analytique en montrant comment représenter des points dans un plan à l’aide de coordonnées et comment formuler l’équation d’une droite à partir de la pente et d’un point donné. Nous explorerons des concepts clés tels que la pente, l’utilisation de l’équation $y = mx + b$ et la représentation graphique des droites, en incluant des exercices pratiques et des applications pour résoudre des problèmes concrets, comme le calcul de positions et l’intersection de droites.

Objectifs d’apprentissage

Comprendre les principes de base de la géométrie analytique et leur application à la représentation des points dans un plan cartésien.
Identifier la formule de la pente d’une droite et sa signification géométrique.
Appliquer l’équation générale de la droite $y = mx + b$ pour décrire des relations linéaires.
Calculer l’équation d’une droite à partir d’un point et de la pente.
Tracer des droites sur un plan cartésien en utilisant leur équation linéaire.
Résoudre des problèmes impliquant l’intersection de deux droites à l’aide de systèmes d’équations.
Analyser la relation entre deux grandeurs linéaires et leur représentation à l’aide d’une équation de droite.

TABLE DES MATIÈRES
Les principes de la géométrie analytique
L’équation de la droite
Comment tracer l’équation de la droite
Les intersections entre droites

Nous allons maintenant commencer notre étude de l’équation de la droite, des systèmes cartésiens et des principes de la géométrie analytique.

Les principes de la géométrie analytique

Quand on introduit les nombres réels, on dit souvent que ce sont des points situés sur une droite.

À partir de cela, Descartes a eu l’idée ingénieuse d’utiliser deux droites pour représenter des points sur un plan comme une paire de coordonnées (x, y).

L’équation de la droite

En utilisant ces concepts, il est maintenant possible de considérer un ensemble de points sur un plan pour former des courbes, où pour chaque coordonnée $x$ , il existe une coordonnée $y$ , et cette relation est définie par une fonction. C’est à ce moment-là que l’algèbre pénètre dans la géométrie, donnant naissance à la « géométrie analytique ».

Géométriquement, nous comprenons une droite comme la courbe qui relie deux points en suivant la plus courte distance possible.

Géométriquement, une droite est la courbe qui relie deux points en suivant la plus courte distance possible. En analysant cela, en vertu du théorème de Thalès, nous verrons que pour chaque augmentation de la coordonnée $y$ , il y a une augmentation correspondante de la coordonnée $x$ , telle que le rapport $m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x$ reste constant pour toute paire de points sur la droite. C’est ce que nous appelons la « pente de la droite ».

Puisque la pente est la même pour n’importe quelle paire de points sur la droite, si l’on considère les points de la droite avec les coordonnées $(x, y),$ $(x_0, y_0),$ $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2),$ nous pouvons écrire :

$\displaystyle \frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Ce qui revient à dire

$\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}$

C’est de là que vient la célèbre équation de la droite

$\color{red}{{y = m(x - x_0) + y_0}}$

Ici, le couple $(x_0, y_0)$ est un point fixe, tandis que le couple $(x, y)$ est un point quelconque.

Exercices pratiques

Calculer l’équation de la droite passant par le point $(x_0, y_0) = (2, 3)$ avec une pente $m = 3/2$ [SOLUTION]
Calculer l’équation de la droite passant par le point $(x_0, y_0) = (1, 8)$ avec une pente $m = 7/5$ [SOLUTION]
Calculer l’équation de la droite passant par les points $(x_1, y_1) = (3, 5)$ et $(x_2, y_2) = (1, -2)$ [SOLUTION]

Comment tracer l’équation de la droite

Nous avons déjà vu comment obtenir l’équation de la droite à partir d’informations graphiques ; maintenant, nous allons faire l’inverse, obtenir une représentation graphique à partir de l’équation de la droite.

Au final, l’équation de la droite se présente toujours de la manière suivante.

$y = mx + b$

Où $m=\Delta Y / \Delta x$ est la pente et $b$ est le coefficient de position. À partir de cela, nous avons la figure suivante

Exercice pratique

Tracer la droite d’équation $y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2$ [SOLUTION]
Tracer la droite d’équation $y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6$ [SOLUTION]

Problèmes d’application de l’équation de la droite

La droite peut être utilisée pour résoudre des problèmes impliquant la relation directe entre deux grandeurs, comme dans les exemples suivants.

Un véhicule avec une position initiale $x_0 = 12[m]$ se déplace à une vitesse de $v=0,3[m/s]$ . Quelle sera sa position après $30[s]$ ? [SOLUTION]
Une personne va au marché et achète $1[kg]$ de pommes, dépensant un total de $50 Z\$.$ Ce même jour, la même personne retourne au marché pour acheter $3[kg]$ de pommes, dépensant un total de $60 Z\$.$ . Quel est le prix des pommes et combien coûtent les billets de transport ? [SOLUTION]

Les intersections entre droites

Supposons que nous ayons deux droites et que nous voulions trouver le point qu’elles ont en commun ; cela signifie trouver l’intersection des droites. Pour résoudre ce type de problème, nous devons résoudre un système d’équations. Pour mieux comprendre cela, examinons l’exemple suivant.

Considérons les droites suivantes :

$L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1$

$L_1 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9$

Où ces deux droites se croisent-elles ?

Pour résoudre ce problème, faisons le raisonnement suivant :

(1)	$y=\displaystyle \frac{3}{2}x + 1$	; Droite $L_1$
(2)	$y= \displaystyle -\frac{1}{3}x + 9$	; Droite $L_2$
(3)	$\displaystyle \frac{3}{2}x + 1 = -\frac{1}{3}x + 9$	; À partir de (1) et (2)
	$\displaystyle \frac{3}{2}x = -\frac{1}{3}x + 8$	; En soustrayant 1 des deux côtés
	$9x = -2x + 48$	; En multipliant les deux côtés par 6
	$11x =48$	; En ajoutant 2x des deux côtés
	$\displaystyle x = \frac{48}{11}$	; En divisant les deux côtés par 11
(4)	$\displaystyle y= \frac{3}{2}\cdot \frac{48}{11} + 1$	; À partir de (1) et (3)
	$\displaystyle y= \frac{3}{1}\cdot \frac{24}{11} + \frac{11}{11}$
	$y= \displaystyle \frac{83}{11}$
(5)	$\displaystyle (x, y)= \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right)$	; À partir de (3) et (4)

Ainsi, le point d’intersection entre les deux droites est $(x, y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right).$

Exemple de problème d’application pour l’intersection de droites

Pour une fête, 600 billets ont été vendus, avec un revenu total de $\$1.300.000.$ Les billets pour les jeunes étaient vendus à $\$1.000,$ et les billets pour les adultes à $\$3.000$ . Combien d’adultes et de jeunes ont assisté à la fête ? [SOLUTION]