Domaines d’Intégrité et les Nombres Entiers

Résumé :
Dans ce cours, on introduit le concept de Domaine d’Intégrité, on explique son importance dans l’étude de l’algèbre générale et on démontre, à l’aide de preuves formelles, certaines de ses propriétés les plus importantes.

Objectifs d’Apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :

1. Comprendre l’objectif de l’étude de l’algèbre générale.
2. Comprendre le concept de domaine d’intégrité.
3. Expliquer les aspects fondamentaux communs aux domaines d’intégrité et aux nombres entiers.
4. Démontrer à l’aide de preuves formelles les propriétés fondamentales des domaines d’intégrité.

TABLE DES MATIÈRES
L’OBJECTIF DE L’ALGÈBRE GÉNÉRALE ET LES CONNAISSANCES PRÉALABLES
DES NOMBRES ENTIERS AUX DOMAINES D’INTÉGRITÉ
ASPECTS FONDAMENTAUX COMMUNS AUX DOMAINES D’INTÉGRITÉ ET AUX NOMBRES ENTIERS
PROPRIÉTÉS DES DOMAINES D’INTÉGRITÉ ET DES NOMBRES ENTIERS
EXERCICES

L’objectif de l’algèbre générale et les connaissances préalables

L’objectif principal de l’algèbre générale est l’étude de toute la variété des systèmes mathématiques possibles. Ici, nous étudierons plusieurs de ces systèmes, et parmi les plus importants figurent les nombres naturels et entiers. À travers ces derniers, nous arriverons aux domaines d’intégrité.

\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}

Des nombres entiers aux domaines d’intégrité

Nous commencerons notre étude avec les nombres entiers, et la raison de procéder ainsi est qu’ils possèdent le plus grand nombre de similitudes avec la majorité des systèmes numériques que nous examinerons dans cette étude.

Plutôt que d’essayer de définir ce que sont les nombres entiers, nous commencerons en supposant que, quelle que soit leur nature, ils satisfont certaines propriétés. Pour cela, un ensemble d’axiomes est choisi de manière à pouvoir en déduire toutes les propriétés que nous associons intuitivement aux entiers.

Toutes ces notions sont introduites à travers les axiomes de Peano des naturels en établissant les opérations de base de l’arithmétique. En suivant cette méthode axiomatique et en étendant les différentes opérations sur les naturels et les entiers, on obtient de nouveaux ensembles numériques, tels que les rationnels, irrationnels, réels, complexes, quaternions, octonions, et bien d’autres encore.

Ensuite, si nous observons les nombres entiers, nous verrons qu’ils possèdent des propriétés qui se retrouvent dans tous les autres ensembles numériques, comme l’existence d’un élément neutre pour la multiplication, d’un neutre additif et des lois distributives. En nous référant à ces notions, nous pouvons établir un langage permettant de parler simultanément de tous ces ensembles. C’est dans ce contexte que surgissent des termes comme :

• Domaine d’intégrité
• Anneau
• Groupe
• Espace vectoriel

Et bien d’autres termes de ce genre… Nous concentrerons nos efforts sur l’étude des Domaines d’Intégrité.

Aspects fondamentaux communs aux domaines d’intégrité et aux nombres entiers

Pour expliquer ce qu’est un domaine d’intégrité, nous nous appuierons sur les propriétés que nous comprenons très bien à partir des nombres entiers. Dans ce contexte, nous avons que si a, b et c sont des nombres entiers, alors les lois suivantes sont satisfaites :

1. Commutatives :
   • a+b = b + a
   • ab = ba
2. Associatives :
   • a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
   • (ab)c = abc = a(bc)
3. Distributives :
   • a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac

En plus de cela, il existe certains éléments spéciaux connus sous le nom de neutres.

• Neutre additif : a+ c = a \leftrightarrow c=0
• Neutre multiplicatif : ac = a \leftrightarrow c=1

L’objet dont le symbole est 0 est le neutre additif, et celui qui correspond au symbole 1 est le neutre multiplicatif.

Les entiers possèdent également des inverses additifs. À chaque entier correspond un inverse additif qui, lorsqu’il est additionné avec lui, donne le neutre additif.

• Inverse additif : a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a

Les inverses additifs sont reconnaissables par le signe « – » qui les accompagne.

Enfin, il existe une loi de simplification qui s’exprime par la relation :

(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)

Ces propriétés que nous avons examinées s’appliquent à de nombreux autres ensembles : réels, complexes, polynômes, etc. Ainsi, nous appelons Domaine d’intégrité tout ensemble qui satisfait ces propriétés.

DÉFINITION : Un Domaine d’intégrité est tout ensemble D muni d’une opération d’addition et de multiplication telles que

• a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
• a,b\in D \longrightarrow ab \in D

Et en plus, les lois associatives, commutatives et distributives sont satisfaites, D contient des neutres additifs et multiplicatifs (chacun de ces éléments est unique), et enfin, la loi de simplification est valable.

Exemple de Domaine d’Intégrité

Considérons l’ensemble A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}. Cet ensemble, muni des opérations usuelles d’addition et de multiplication, est un domaine d’intégrité car il satisfait les lois de commutativité, d’associativité et de distribution, possède un neutre additif et multiplicatif, ainsi qu’un inverse additif.

• Neutre additif : 0+0\sqrt{3}
• Neutre multiplicatif : 1+0\sqrt{3}
• Inverse additif : Tout élément a+b\sqrt{3} possède un inverse additif -a-b\sqrt{3}

Et le plus important de tout, cet ensemble A est fermé pour les opérations d’addition et de multiplication, dans le sens où si l’on prend x,y\in A, alors on a x+y\in A et xy\in A. Cela est facile à vérifier : Si a_1 + b_1\sqrt{3} et a_2 + b_2\sqrt{3} sont des éléments de A, alors on a :

\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}

Propriétés des Domaines d’Intégrité et des Nombres Entiers

Le neutre additif d’un domaine d’intégrité est unique

Cela peut être démontré par réduction à l’absurde : Supposons qu’il existe deux neutres additifs, notons-les 0 et 0^\prime. Alors, on a :

\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{; Hypothèse}\\ (2) & a+0 = a & \text{; Hypothèse : $0$ est neutre additif}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{; Hypothèse : $0^\prime$ est neutre additif}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{; En substituant $a=0^\prime$ dans $(2)$}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{; En substituant $b=0$ dans $(3)$}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{; D'après $(4,5)$ et la commutativité de l'addition}\\ (7) & \bot &\text{; D'après $(1,6)$} \end{array}

À partir de ce raisonnement, nous concluons donc :

\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.

Ensuite, par réduction à l’absurde, on obtient :

\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.

Autrement dit, s’il y a deux neutres additifs, alors ils sont égaux, et par conséquent, il est unique.

Le neutre multiplicatif est également unique

La démonstration est pratiquement analogue à la précédente. S’il en existait deux, notons-les 1 et 1^\prime, alors on pourrait raisonner comme suit :

\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{; Hypothèse}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{; Hypothèse : $1$ est neutre multiplicatif}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{; Hypothèse : $1^\prime$ est neutre multiplicatif}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{; En substituant $a=1^\prime$ dans $(2)$}\\ (5) & 1^\prime \cdot 1 = 1 & \text{; En substituant $b=1$ dans $(3)$}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{; D'après $(4,5)$ et la commutativité de la multiplication}\\ (7) & \bot &\text{; D'après $(1,6)$} \end{array}

Nous arrivons ainsi à la conclusion suivante :

\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.

Ensuite, par réduction à l’absurde, on obtient :

\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.

Autrement dit, s’il y a deux neutres multiplicatifs, alors ils sont égaux, et par conséquent, il est unique.

La loi de simplification pour les additions est valide

C’est ce que nous faisons lorsque nous éliminons des termes dans une égalité :

a+b = a+c \longleftrightarrow b = c

Il n’est pas difficile de démontrer cette situation, il suffit de suivre le raisonnement suivant :

\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{; Hypothèse} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{; De$(1)$, en ajoutant $-a$ des deux côtés} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{; De$(2)$, commutativité et associativité} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{; De$(3)$ et Inverse Additif} \\ (5) & b = c & \text{; De$(4)$ et Neutre Additif} \\ \end{array}

Comme ce raisonnement peut être effectué dans les deux sens en appliquant les mêmes étapes, on obtient :

a+b=a+c \dashv \vdash b=c

Ce qui est équivalent à dire que

\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c

Le neutre additif est aussi un élément absorbant pour la multiplication

Cela signifie simplement que, pour tout a dans le domaine d’intégrité, on a :

a\cdot 0 = 0

Ceci est également facile à démontrer, en suivant le raisonnement suivant :

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{; Loi distributive} \\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{; De$(1)$ et Inverse Additif} \\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{; De$(2)$ et Distributivité} \\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{; De$(3)$ et Simplification des additions} \\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{; De$(4)$ et Inverse Additif} \\ \end{array}

Loi des signes :

Le produit de quantités de même signe est toujours positif ; le produit de quantités de signes opposés est toujours négatif. La démonstration de cette propriété est également simple :

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{; Neutre Additif}\\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{; De$(1)$ et Inverse Additif}\\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{; De$(2)$ et Inverse Additif}\\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{; De$(3)$ et Inverse Additif}\\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{; De$(4)$ et Élément Absorbant Multiplicatif}\\ \end{array}

Par conséquent : ab = (-a)(-b)

Pour les signes opposés, le raisonnement est similaire :

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{; Neutre Additif} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{; De$(1)$ et Inverse Additif} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{; De$(2)$ et Distributivité} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{; De$(3)$ et Inverse Additif} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{; De$(4)$ et Élément Absorbant Multiplicatif} \\ \end{array}

Par conséquent : a(-b) = -a(b)

Si le produit de deux nombres est nul, alors au moins l’un d’eux est nul

Une autre propriété souvent utilisée est la suivante :

ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)

Sa démonstration est également simple :

\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{; Élément Absorbant Multiplicatif} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{; TD$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{; CPI$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{; RTD$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{; Analogue$(4)$} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; $\wedge$-int$(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; TD(6)} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; CPI(7)} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; DM(8)} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{; Élément Absorbant Multiplicatif}\\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{; TD(10)}\\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{; $\rightarrow$-Def(11)}\\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{; DN(12)}\\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; TD(13)}\\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; De(9,14)} \end{array}

Exercices

Soient a, b et c des éléments quelconques d’un domaine d’intégrité D. Montrez que les propriétés suivantes sont satisfaites :

1. (-a)=(-1)a [SOLUTION]
2. -(a+b)=(-a) + (-b) [SOLUTION]
3. a(-b)=-(ab) [SOLUTION]
4. -(-a)=a [SOLUTION]
5. a(b-c) = ab - ac [PROPOSÉ]
6. (a-b)+(b-c) = a-c [PROPOSÉ]
7. Pour tous les a\in D, il existe un unique 1 tel que a\cdot 1 = a [SOLUTION]
8. xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) [PROPOSÉ]