Espejos planos, problemas resueltos
Resumen:
En esta clase revisaremos algunos problemas resueltos de espejos planos. Se determina el ángulo de reflexión \gamma en función del ángulo \theta entre dos espejos planos unidos por una bisagra y se calculan ejemplos específicos. Se examinan valores críticos de \alpha para que el rayo rebote una vez en cada espejo y se valida la fórmula para \gamma. También se identifican ángulos de incidencia que hacen que el rayo se regrese sobre sí mismo, calculando una secuencia de ángulos de retorno \alpha_n = n\theta.
Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar esta clase, el estudiante será capaz de:
- Comprender las fórmulas fundamentales de la óptica de espejos planos.
- Aplicar la ley de reflexión en problemas con espejos planos.
- Determinar el ángulo de reflexión \gamma en función del ángulo \theta entre dos espejos planos.
- Analizar los límites de las fórmulas para espejos y sus condiciones de validez.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Introducción
Espejos unidos por una bisagra
Examinando los límites de un razonamiento
Ángulos de retorno
Introducción
En la clase anterior revisamos la mayoría de las fórmulas relacionadas con la óptica de los espejos planos y esféricos; sin embargo, para lograr una mejor comprensión de estos temas es necesario revisar la forma en que estas aparecen en la resolución de los problemas asociados a estos temas. Es por esto que dedicaremos esta parte exclusivamente para revisar la solución de algunos problemas. En esta oportunidad nos centraremos exclusivamente en los espejos planos.
Espejos unidos por una bisagra
Dos espejos planos unidos por un extremo sostienen entre si un ángulo \theta. Si un rayo de luz incide en uno de los espejos con un ángulo \alpha respecto a la normal de modo tal que la luz rebota sólo una vez en cada espejo y se interseca consigo mismo formando un ángulo \gamma:
- Encuentre una fórmula que permita determinar el ángulo \gamma en término de los demás datos.
- Si el rayo de luz incide en el primer espejo con un ángulo \alpha=30^o y el ángulo entre los espejos es \theta=50^o ¿Cuál será el ángulo \gamma?
- Definiendo el ángulo \beta entre la normal del segundo espejo y el rayo de luz reflejado desde el primer espejo, y utilizando la ley de reflexión en espejos planos podemos completar la figura de la siguiente manera:
Teniendo esto en mente, ahora es posible realizar el siguiente razonamiento:(1) (90^o - \alpha) + (90^o - \beta) + \theta = 180^o ; Porque la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180^o \equiv \alpha + \beta = \theta (2) 2\alpha +2\beta + \gamma = 180 ; Porque la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180^o \equiv \gamma = 180 - 2(\alpha + \beta) (3) \color{blue}{\gamma = 180 - 2\theta} ; De (1,2) Por lo tanto, se infiere que el ángulo \gamma sólo será función del ángulo \theta que forman los espejos y su fórmula será \gamma(\theta) = 180^0 - 2\theta
- A partir de lo razonado en el inciso anterior se tiene que \gamma = 180^o - 2\cdot 50^o = 80^o
Examinando los límites de un razonamiento
El ejercicio anterior tiene un delicado problema. Si observa el enunciado verá que se exige que el rayo de luz sólo debe rebotar una vez en cada espejo; sin embargo, para que eso ocurra no cualquier valor de \alpha sirve. Encuentre los valores de \alpha que satisfacen tal condición y que por lo tanto, permiten que la fórmula obtenida en el ejercicio anterior tenga validez.
Tenemos que \alpha alcanza el valor «crítico» cuando hace que \beta=0^o; y cuando esto ocurre, podemos tomar un ángulo x que permite el siguiente razonamiento:
Debe ocurrir lo que indican las siguientes dos ecuaciones:
\alpha + x = 90^o
\theta + x = 90^o
Y esto sólo es posible si:
\alpha = \theta
Es decir: el valor \alpha=\theta es el valor del ángulo de incidencia crítico tal que, si es superado, entonces el rayo rebotará más de dos veces en un espejo y en consecuencia, invalidaría la fórmula obtenida en el ejercicio anterior. A partir de estos resultados podemos corregir el resultado del ejercicio anterior escribiendo:
\gamma(\theta, \alpha) = 180^0 - 2\theta \;\;\;\; ; \;\;\;\; \alpha \in ]0,\theta[
Ángulos de retorno
A partir de estos resultados podemos ver que, para ciertos ángulos de incidencia, el rayo de luz se regresa sobre si mismo. Esto ocurre cuando \alpha = 0^o o cuando \alpha = \theta, donde \theta es el ángulo formado entre los dos espejos planos. ¿Existirán más ángulos de retorno?; y si los hay ¿cómo se podrían calcular?
SOLUCIÓNPara resolver este problema debemos imaginar la situación que ocurrirá cuando el rayo de luz incide en el primer espejo con un ángulo respecto a la normal \alpha\in ]\theta, 180^o[. Cuando tal cosa ocurre, tenemos una situación como la que se muestra en la siguiente figura:
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180^o:
(90^o - \alpha) + (90^o + \beta) + \theta = 180
Al simplificar esta relación podemos obtener el ángulo \beta en términos de \alpha y \theta.
\beta=\alpha - \theta
Esta expresión es importante porque si \beta=\theta, entonces por el razonamiento del ejercicio anterior el rayo debería regresar sobre si mismo en la próxima reflexión. Así que \alpha=2\theta. Por lo tanto, este razonamiento se puede extender de forma inductiva a través de:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{n-1} = \alpha_n - \theta
Y, a partir de esto, tenemos la secuencia de ángulos de retorno:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{2} = 2\theta
\vdots
- \alpha_{n} = n\theta
Ademas de esto, debemos notar que tanto el ángulo entre los espejos planos como cada uno de los ángulos de incidencia deben ser agudos.