Aunque las operaciones con los números naturales son conocidas, es necesario sintetizar este conocimiento usando unos «modales un poco más matemáticos». Por este motivo haremos una revisión a las operaciones de suma, producto y potencia de números naturales y sus propiedades.

El origen de las Operaciones Básicas de los Números Naturales

Operación de Suma

El germen de la operación suma la revisamos en la clase sobre Los Números Naturales y los Axiomas de Peano, porque el sucesor de un natural también se puede presentar así:

S(n) = n+1

Como dijimos que 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots y así sucesivamente, entonces podemos interpretar la suma como la aplicación sucesiva de la operación de sucesión.

n+1 =S(n),

n+2 =S(S(n)),

n+3 =S(S(S(n))),

\vdots

Y en general:

n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;veces} n)\cdots))

Propiedades de la Suma

Si a,b,c\in\mathbb{N}, entonces a partir de esto podemos obtener las propiedades de la suma que todos conocemos:

Todas estas propiedades se pueden demostrar por inducción pero nos saltaremos ese trabajo. Sin embargo te animo a que lo intentes como una forma de prácticar la técnica de inducción.

Operación de Producto

De forma similar, se define el producto de números naturales como una aplicación sucesiva de la suma. Tenemos por lo tanto que

n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;veces}

Propiedades del Producto

Y de forma análoga se pueden obtener sus propiedades

Y además, desde la definición del producto es que el «1» de los naturales adquiere la cualidad que lo transforma en unidad:

Suma y Producto Combinados

Cuando las operaciones de suma y producto se combinan, se obtiene la propiedad de distribución de la suma respecto a la multiplicación

El orden Inducido por las Operaciones de los Números Naturales

Desde las operaciones de suma y producto que revisamos se induce en los naturales una relación de orden a través de las siguientes definiciones:

Propiedades del Orden en los Números Naturales

Ley de Tricotomía

A partir de esto se tiene que sólo pueden ocurrir una y sólo una de las siguientes tres situaciones:

1. a\lt b
2. a = b
3. a\gt b

Si ocurriera que, por ejemplo a no es menor que b, entonces tendria que ocurrir una de las dos: o a=b, o bien a\gt b, es decir mayor o igual y se escribiría: a\geq b. Y de forma análoga se escribe a\leq b. cuando se menor o igual.

Propiedad Transitiva

Si a,b y c son naturales cualesquiera, entonces se cumple que:

[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)

Y análogamente:

[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)

Propiedad de Monotonía

Existe una propiedad de monotonía tanto para la suma como para el producto, esta es:

Operaciones Inversas: Resta y División de Números Naturales

Resta de Números Naturales

Si a,b,c\in\mathbb{N}, decimos que la diferencia entre a y b (en ese orden), escrita a-b, se define a través de la relación

a-b=c \leftrightarrow a= b+c

Como podemos ver, tal relación será verdadera sólo si a\gt b, porque no existe un c\in \mathbb{N} con el que se pueda satisfacer esta relación si a\leq b.

A través de la definición de resta tenemos la conocida regla de «lo que está sumando a un lado de la igualdad puede pasar al otro lado restando, y viceversa».

División de Números Naturales

Si a,b,c\in\mathbb{N}, decimos que la división entre a y b (en ese orden), escrita a/b, se define a través de la relación

a/b=c \leftrightarrow a= bc

De la definición de división tenemos la regla de «lo que está multiplicando a un lado de la igualdad puede pasar al otro lado dividiendo, y viceversa».

Así como para que la resta a - b exista debe cumplirse que a\gt b, para que exista la división a/b es necesario que a sea «divisible» por b. Esto lo representamos escribiendo

a es divisible por b \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)

Potencias de Números Naturales

Con los números naturales se pueden definir las potencias. Elevar un natural b, que llamamos base, a otro natural n, que llamamos exponente, significa multiplicar n veces b. De modo que

b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;veces}

Si a,b,n,m\in\mathbb{N}, por inducción (doble) se pueden demostrar las siguientes propiedades:

1. \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
2. \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, siempre que n\lt m
3. \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
4. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
5. \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}

Problemas Propuestos y Resueltos

1. Todas las propiedades que se han mostrado acá se pueden demostrar utilizando inducción matemática (sea simple o doble), pero no las he desarrollado porque la demostración resultante es inecesariamente larga para estos resultados tan intuitivos. Sin embargo, quien siga estas clases puede intentar realizar esas demostraciones como ejercicio. [Solo propuesto]
2. ¿Es lo mismo b^{n^m} ( que se define como b^{(n^m)}) que (b^n)^m? [Solución]
3. Utilizando las propiedades vistas, verifique las igualdades:
   a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [Solución]
   
   b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,; si c\gt d [Solución]
   
   c)(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,; si a\gt b, c\gt d [Solución] 
4. Demuestre que
   
   a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [Solución]
   
   b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2; si c\gt d [Solución]
   
   c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2; si c\gt d [Solución]
   
   d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [Solución]
   
   e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3; si c\gt d [Solución]

    

5. Pruebe por inducción completa las siguientes propiedades:
   
   a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [Solución]
   
   b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [Solución]
   
   c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [Solución]