Resumen:
En esta clase aborda se aborda la relación entre el límite y la continuidad de una función, comenzando con una explicación intuitiva y formal del término. Se explora la continuidad en un punto y en un conjunto, detallando las condiciones necesarias para que una función sea continua. También se presentan las propiedades algebraicas de las funciones continuas, incluidas sumas, productos, cocientes y composición de funciones. Finalmente, se resuelven ejemplos prácticos para analizar la continuidad de diferentes funciones y calcular límites, relacionándolos con el concepto de continuidad.

Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de:

1. Analizar la continuidad de una función en un punto mediante la verificación de las condiciones definidas.
2. Evaluar si una función es continua en un conjunto determinado utilizando la definición formal de continuidad.
3. Demostrar la continuidad de una función a partir de sus propiedades algebraicas.
4. Clasificar los puntos de discontinuidad en diferentes tipos según las condiciones que no se cumplen.

ÍNDICE DE CONTENIDOS:
Introducción
Continuidad en un Punto
Continuidad en un Conjunto
Propiedades de las Funciones Continuas
Ejercicios

Introducción

Intuitivamente hablando se entiende la continuidad de una función como la propuedad que permite dibujar su gráfico «sin levantar el lapiz». Esta noción que es bastante sencilla de entender por si sola no es suficiente, sin embargo, si lo que se desea es la rigurosidad del razonamiento matemático. Es necesario un mínimo de modales. Formalmente hablando, la continuidad de las funciones está intimamente ligada al concepto de límite y esto es lo que estudiaremos en detalle.

Continuidad en un Punto

Una función f(x) es continua en un punto x=x_0 si, y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones:

• f(x) está definida en x_0
• El límite \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) existe
• \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

Todo esto se puede sintetizar matemáticamente a través de la expresión

\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Esto es justo la definición matemática de límite en que se ha remplazado el valor «L» por «f(x_0)»

Continuidad en un Conjunto

La definición de continuidad puntual se puede extender a la continuidad para todos los puntos dentro de un cierto conjunto. Decimos que f(x) es continua dentro de un conjunto I\subseteq Dom(f) si es continua para todos los puntos x_0\in I. Esto se puede sintetizar matemáticamente a través de la siguiente expresión.

\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Propiedades de las Funciones Continuas

Álgebra de Funciones Continuas

Si f y g son funciones continuas en I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g) entonces se tendrá que:

• f\pm g es continua en I
• f\cdot g es continua en I
• Si \alpha\in\mathbb{R}, entonces \alpha f es continua en I
• f/g es continua en I siempre que g\neq 0
• Si \alpha,\beta\in\mathbb{R} y \beta\neq 0, entonces f^{\alpha/\beta} es continua en I, siempre que f^{\alpha/\beta} esté bien definida en I.

Todas estas propiedades que parecen dificiles de demostrar desde la definición formal de continuidad son en realidad muy fáciles, porque son practicamente análogas al álgebra de límites que ya tenemos demostradas, por lo que quedamos eximidos de hacerlas.

Composición de Funciones Continuas

Si f es continua en I\subseteq Dom(f) y g es continua en f(I), entonces la composición (g\circ f)(x) = g(f(x)) es continua en I. Esto, como ya se intuye, es una consecuencia directa de las leyes de composición para los límites de funciones.

Ejercicios

1. Analice la continuidad de las siguientes funciones
   

   a.	y=\dfrac{1}{x-2} - 3x	SOLUCIÓN
   b.	y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}	SOLUCIÓN
   c.	y=|x-1| + \sin(x)	SOLUCIÓN
   d.	y=\dfrac{\cos(x)}{x}	SOLUCIÓN
   e.	y=csc(2x)	SOLUCIÓN
   f.	y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}	SOLUCIÓN
   g.	y=\sqrt{2x + 3}	SOLUCIÓN
   h.	y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}	SOLUCIÓN
   i.	y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}	SOLUCIÓN

2. Calcule los siguientes límites. ¿Las funciones son continuas en los puntos a los que se aproximan?
   

   a.	\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))	SOLUCIÓN
   b.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)	SOLUCIÓN
   c.	\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)	SOLUCIÓN
   d.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)	SOLUCIÓN
   e.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)	SOLUCIÓN
   f.	\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}	SOLUCIÓN