El índice de refracción

Se define el índice de refracción de un medio como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en dicho medio. Este es una cantidad adimensional y generalmente se representa a través de la letra n_k:

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

Donde c es la velocidad de la luz en el vacío y c_k es la velocidad de la luz en el medio k.

Dado que la luz se mueve siempre más lento en cualquier medio que en el vacío, se tiene que el índice de refracción es siempre mayor o igual que 1.

El principio de Fermat

La velocidad de la luz depende del medio en el que viaja. A mayor índice de refracción posea el medio, menor será la velocidad de la luz cuando viaja en él; y en relación a esto se enuncia el principio de Fermat:

Cuando la luz viaja de un punto a otro, lo hace por la trayectoria que minimiza el tiempo de recorrido.

Este principio se mantiene aún cuando la luz pasa por distintos medios.

La ley de snell de la refracción de la luz

A partir de lo establecido por el principio de Fermat es posible formular un problema de optimización que permitirá averiguar la trayectoria que seguirá un rayo de luz al pasar por distintos medios. Esto es lo que condice finalmente a la Ley de Snell, cuyo planteamiento y demostración veremos a continuación.

Supongamos que un rayo sale de un punto A y llega a otro B cruzando una interfaz que separa dos medios con índices de refracción n_1 y n_2 respectivamente. Nuestro objetivo será encontrar una relación que nos permita calcular la trayectoria del rayo de luz siguiendo el principio de Fermat sobre el recorrido en el tiempo mínimo y para esto se arma el siguiente esquema:

El razonamiento comienza analizando la forma del tiempo de viaje del rayo de luz. Tenemos que:

\begin{array}{rl}{Tiempo\,de\,Viaje} & =\displaystyle \frac{{Distancia}}{{Rapidez}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{Distancia\,en\,medio\,1}}{{Rapidez\,en\,medio\,1}} + \frac{{Distancia\,en\,medio\,2}}{{Rapidez\,en\,medio\,2}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

Hecho esto se tiene que, manteniendo fijo los puntos A y B, el tiempo de viaje queda determinado por el punto x en que el rayo toca la interfaz entre los medios. Con esto podemos definir una función de tiempo t(x) a través de

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

Ahora, como el principio de Fermat establece que la luz sigue la trayectoria que minimiza el tiempo de recorrido, es posible a partir de esto encontrar el x que minimiza la función t(x). Estamos ante un problema de optimización.

Derivando t con respecto a x se tiene que:

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

Ahora notemos que:

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

De modo que, remplazando estas cosas sobre la derivada del tiempo se tiene:

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

Finalmente, si el punto x minimiza la función t(x), entonces la derivada se tendrá que anular y se tendrá:

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

Esto es la Ley de Snell para la refracción de un rayo de luz que pasa entre dos medios y nos muestra la relación que existe entre el angulo de incidencia \theta_1 y el angulo refractado \theta_2.

Refracción, reflexión y reflexión total de la luz

Hemos visto que cuando la luz pasa de un medio a otro se refracta, pero en general lo que ocurre es una combinación entre refracción y reflexión; y dependiendo de los indices de refracción y el ángulo de incidencia del rayo de luz, la refracción puede desaparecer quedando sólo la reflexión.

Supongamos que un rayo de luz incide desde un material a a otro b con índices de refracción n_a y n_b respectivamente. Si n_a \gt n_b, por la Ley de Snell se tendrá que

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

Dado que n_a/n_b \gt 1, ocurre que \sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a), lo que implica que el rayo refractado se desvía alejandose de la normal. Esto implica que debe existir algún \theta_a\lt 90^o para el cual \sin(\theta_b)=1 y, por lo tanto, \theta_b=90^o, como se muestra en la siguiente figura.

Al ángulo de incidencia que hace que el rayo se refracte por la interface se conoce como ángulo crítico y satisface la relación

\displaystyle \sin(\theta_{critico}) = \frac{n_b}{n_a}

Que es equivalente a decir:

\displaystyle \theta_{critico} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

Si \theta_a \gt \theta_{critico}, entonces hay reflexión total.

Ejercicios:

1. Considere un rayo de luz que pasa del agua al vidrio como se muestra en la siguiente figura:
   
   El índice de refracción del agua es n_1 = 1,33, y el del vidrio es n_2=1,52. Si un rayo de luz que pasa del agua al vidrio incide en la interfaz que separa ambos medios con un ángulo de inclinación de \theta_1 = 60^o respecto de la normal ¿Con qué ángulo \theta_2 sale el rayo refractado? SOLUCIÓN
   Usando la ley de Snell se tiene que:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Ley de Snell
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1,33	; Índice de refracción del agua
   (3)	n_2=1,52	; Índice de refracción del vidrio
   (4)	\theta_1=60^o	; Ángulo de incidencia en la interfaz del rayo de luz
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1,33}{1,52}\sin(60^o)\right) \approx 49,268^o	; De (1,2,3,4), Ángulo de refracción

2. Tres liquidos separados por dos interfaces tienen los siguientes índices de refracción: n_1=1,33, n_2=1,41 y n_3=1,68, y se encuentran dispuestos como se muestra en la siguiente figura:Si el rayo que va del medio con índice n_1 al de n_2 lo hace incidiendo en la interfaz con un ángulo \theta_1=70^o ¿Con qué ángulo se refractará cuando pase al medio con índice n_3? SOLUCIÓN
   De forma análoga al ejercicio anterior, se tiene el siguiente razonamiento:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Ley de Snell para el paso del medio n1 al n2
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; Ley de Snell para el paso del medio n2 al n3
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; De(1,2)
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   Finalmente, remplazando los datos se tiene que:

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1,33}{1,68}\sin(70^o)\right) \approx 48,0667^o
   Note que este razonamiento nos muestra que podemos hacer las cuentas tomando sólo los medios de entrada y salida del rayo, ignorando completamente el que se encuentra en el medio.
   
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3. Desde el fondo de una piscina se dispara un rayo de luz dirigido hacia la interfaz del aire con el agua. Determine el ángulo de incidencia para que ocurra una reflexión total.
   SOLUCIÓN
   El ángulo crítico estará dado por:

   \displaystyle \theta_{critico}= \arcsin\left(\frac{1,00}{1,33}\right) \approx 48,7535^o

   [vídeo]