Introducción y Eliminación de Conjunciones y Disyunciones

Una de las técnicas de la lógica clásica consiste en la introducción y eliminación de conectores y disyuntores. A pesar de que estas técnicas se ejecutan de un modo más o menos intuitivo, su justificación no es del todo trivial, pero se pueden obtener a partir de las reglas de la lógica proposicional que ya hemos demostrado en clases anteriores. Formalmente, las técnicas de introducción y eliminación de conectores y disyuntores son las siguientes:

Y sus demostraciones desde la lógica proposicional son las que se muestran a continuación:

∨-Introducción

∨-Eliminación

∧-Introducción

∧-Eliminación

Técnicas de Contradicciones y Tautologías

Regla del Tercero Excluido o Tautología (tau)

Otra de las características más notorias de la lógica clásica es la propiedad del tercero excluido (tertium non datur). En esta se establece que si se tienen dos afirmaciones, donde una de ellas niegue a la otra, entonces por necesidad una de las dos debe ser verdadera; o dicho de otro modo, la conjunción de dos afirmaciones en que una niega a la otra forma una tautología por necesidad. Formalmente, esto se expresa escribiendo:

\vdash (\neg\alpha \vee\alpha)

Y su demostración es fácil de obtener.

Otra forma de enunciar el principio del tercero excluido es a través de la ley de no contradicción, que establece que una afirmación no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo y que se enuncia formalmente a través de:

\vdash \neg(\neg\alpha \wedge \alpha)

Esta propiedad no necesita demostración, no porque sea autoevidente por sí misma, sino porque se obtiene directamente de aplicar la definición de la conjunción sobre el principio del tercero excluido.

Regla de Contradicción o Principio de Explosión

Otra propiedad conocida de la lógica clásica es el principio de explosión, que usualmente se enuncia a través de la frase «de premisas contradictorias se puede concluir cualquier cosa». Su formulación se suele presentar de cualquiera de las siguientes dos maneras:

\{(\neg\alpha \wedge \alpha)\}\vdash \beta

\{\alpha, \neg\alpha\}\vdash \beta

La demostración de esta regla es sencilla:

∨-Eliminación3

El modus ponens puede ser escrito de dos maneras distintas. Una de las formas que ya conocemos es \{\alpha,(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash \beta. La otra es un poco menos familiar:

\{\alpha\}\vdash\beta \; \wedge \; \vdash \alpha \; \Longrightarrow \; \vdash \beta

Centrándonos en esta segunda forma, es posible visualizar una expansión para esta regla que llamamos ∨-Eliminación3, debido a que se asemeja a una simplificación que se obtiene a partir de una disyunción. Esta nos dice que si \gamma puede ser inferido a partir de \alpha y a partir de \beta (de ambas a la vez) y a su vez la disyunción entre \alpha y \beta es un teorema, entonces \gamma es un teorema. Esto lo resumimos formalmente a través de la siguiente escritura:

\{\alpha\}\vdash\gamma\; \wedge \; \{\beta\}\vdash\gamma \; \wedge \; \vdash (\alpha \vee \beta) \Longrightarrow \vdash \gamma

La demostración de esta técnica de la lógica clásica es la siguiente:

Pruebas por casos (cas)

Otra de las técnicas de la lógica clásica es la prueba por casos. Si una expresión \beta se puede inferir tanto desde otra expresión \alpha como desde su negación, entonces la expresión \beta es, por necesidad, un teorema. Esto se representa formalmente a través de la escritura: \alpha \vdash \beta \; \wedge \; \neg\alpha \vdash \beta \Longrightarrow \vdash \beta. Su demostración es la siguiente:

\begin{array}{rll} (1) & \alpha \vdash \beta &; Premisa\\ (2) & \neg \alpha \vdash \beta &; Premisa \\ (3) & \vdash \alpha \vee \neg\alpha &; TAU \\ (4) & \vdash \beta &; \vee-Eliminacion3(1,2,3) \end{array}

Reducción al Absurdo (absurdo)

Una de las técnicas de la lógica clásica más utilizadas en las demostraciones, especialmente en las matemáticas, es la de reducción al absurdo. Esta consiste en que si a partir de una expresión \alpha se infiere una contradicción (una afirmación y su negación), entonces la negación de \alpha es una tautología. Formalmente se expresa como: \{\alpha\}\vdash \beta \; \wedge \; \{\alpha\}\vdash \neg\beta \Longrightarrow \vdash \neg\alpha. Y se puede demostrar a través del siguiente razonamiento: