Unbestimmte Integrale und Grundlegende Integrationstechniken

In dieser Unterrichtseinheit werden die grundlegenden Techniken zur Berechnung der einfachsten unbestimmten Integrale sowie die Eigenschaften des Integrationsoperators eingeführt. Dies umfasst polynomiale, exponentielle, hyperbolische und grundlegende trigonometrische Integrale.

Lernziele:
Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der/die Studierende in der Lage sein,

1. zu verstehen, dass der Prozess der unbestimmten Integration der umgekehrte Prozess der Ableitung ist.
2. die Integration von Polynomen und Ausdrücken, die exponentielle, hyperbolische und trigonometrische Funktionen enthalten, durchzuführen.
3. die Eigenschaften von Integralen zu nutzen, um algebraische Umformungen vorzunehmen, die deren Berechnung erleichtern.

INHALTSVERZEICHNIS
DIE RELEVANZ UNBESTIMMTER INTEGRALE
STAMMFUNKTIONEN, UNBESTIMMTE INTEGRALE UND PRIMITIVFUNKTIONEN
GRUNDLEGENDE INTEGRATIONSTECHNIKEN

Die Relevanz unbestimmter Integrale

Unbestimmte Integrale sind ein fundamentales Werkzeug der Analysis und haben ein breites Anwendungsspektrum in den Natur- und Mathematikwissenschaften. Sie ermöglichen die Berechnung der Stammfunktion einer gegebenen Funktion, was wiederum zur Berechnung von Flächen unter Kurven, Volumina von Körpern, Wahrscheinlichkeiten und vielen weiteren Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen, Statistik und Wirtschaft verwendet wird. Darüber hinaus sind unbestimmte Integrale wesentlich für die Lösung von Differentialgleichungen und daher in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik unverzichtbar.

Stammfunktionen, unbestimmte Integrale und Primitivfunktionen von Funktionen

Wenn eine Funktion F(x) in einem gegebenen Intervall I die Ableitung f(x) hat, dann sagt man, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) in diesem Intervall ist.

Es ist wichtig zu beachten, dass wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist auch F(x) + C eine Stammfunktion, wobei C eine beliebige reelle Konstante ist. Dies wird folgendermaßen dargestellt:

\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C

Die Konstante C wird als Integrationskonstante bezeichnet, und ihre Präsenz zeigt, dass die Stammfunktion einer Funktion nicht eindeutig ist, sondern eine ganze Familie von Funktionen darstellt: die Gesamtheit aller Funktionen, deren Ableitung f(x) im Intervall I ist.

Die Begriffe Stammfunktion, Primitivfunktion und unbestimmtes Integral drücken im Wesentlichen dieselbe Idee aus und werden daher synonym verwendet. Zusammengefasst ist das unbestimmte Integral der umgekehrte Prozess der Ableitung, und aus diesem Konzept ergeben sich seine grundlegendsten Eigenschaften.

Grundlegende Eigenschaften unbestimmter Integrale

Um unbestimmte Integrale berechnen zu können, müssen wir einige grundlegende Eigenschaften kennen, die direkt von den Eigenschaften der Ableitung abgeleitet werden.

1. \displaystyle \int \dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C
   Weil das unbestimmte Integral der umgekehrte Prozess der Differentiation ist.




2. \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx
   Wobei \lambda eine beliebige reelle Konstante ist. Das gilt, weil
   

   \begin{array}{rl} {} \displaystyle \int \lambda \dfrac{d\phi(x)}{dx}dx &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx}\lambda \phi(x) dx \\ \\ &= \lambda \phi(x) + C_1 \\ \\ &= \lambda(\phi(x) + C_2) \\ \\ &= \lambda \displaystyle \int \frac{d\phi(x)}{dx}dx \end{array}

   Und wenn man dann f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx} verwendet, ergibt sich

   \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x)dx




3. \displaystyle \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx

   Dies lässt sich auf ähnliche Weise wie zuvor zeigen. Betrachten wir zwei Funktionen \phi(x) und \psi(x), so dass

   f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx} und g(x) = \dfrac{d\psi(x)}{dx}

   Dann ergibt sich

   \begin{array}{rl} {} \displaystyle \int f(x) + g(x) dx &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} + \dfrac{d\psi(x)}{dx} dx \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx} (\phi(x) + \psi(x)) dx \\ \\ &= \phi(x) + \psi(x) + C \\ \\ &= (\phi(x) + C_1) + (\psi(x) + C_2) \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} dx + \int \dfrac{d\psi(x)}{dx}dx \\ \\ &= \displaystyle \int f(x) dx + \int g(x) dx \end{array}

Grundlegende Integrationstechniken

Es gibt grundlegende Integrationstechniken, die es uns ermöglichen, einige unbestimmte Integrale anhand der Ergebnisse der Ableitungen zu berechnen. Durch diese Techniken erhalten wir folgende nützliche Ergebnisse für die Integration:

Integrale von Polynomfunktionen

1. \displaystyle \int 1 dx = x + C

   Denn \dfrac{d}{dx} (x + C)= 1

2. \displaystyle \int x^q dx = \dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C, vorausgesetzt q\neq -1

   Weil \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C\right) = x^q.

Mit diesen Ergebnissen und den grundlegenden Eigenschaften können wir ohne Schwierigkeiten das Integral jedes Polynoms berechnen.

Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Aus den bekannten Ergebnissen der Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen ergeben sich die folgenden grundlegenden Integrale:

1. \displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C

   Weil \dfrac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x

2. \displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C

   Weil \dfrac{d}{dx}\left(ln|x| + C \right) = \dfrac{1}{|x|} sig(x) = \dfrac{1}{x}

   Wobei sig(x) die Signumfunktion ist, definiert durch:

   sig(x) = \left\{\begin{array}{} +1 &,&0\lt x \\ -1 &,& x\lt 0 \end{array}\right.

Das Ergebnis des Integrals von 1/x erweitert unsere Fähigkeit, Funktionen zu integrieren, da wir nun beginnen können, Funktionen zu integrieren, die aus einem Quotienten von Polynomen bestehen.

Integrale von grundlegenden hyperbolischen Funktionen

Die grundlegenden hyperbolischen Funktionen sind

\begin{array} {} sinh(x) &=& \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \\ cosh(x) &=& \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \end{array}

Da wir bereits gesehen haben, wie das Integral der Exponentialfunktion funktioniert, werden wir keine Schwierigkeiten mit den Integralen des hyperbolischen Sinus und Kosinus haben.

Für den hyperbolischen Sinus ist die Berechnung praktisch direkt:

\begin{array}{rcl} {} \displaystyle \int sinh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx - \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x + e^{-x} \right) + C = cosh(x) + C \end{array}

Und für den hyperbolischen Kosinus ist die Rechnung ganz analog:

\begin{array} {} \displaystyle \int cosh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx + \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x - e^{-x} \right) + C = sinh(x) + C \end{array}

Neben diesen gibt es viele weitere hyperbolische Funktionen, die integriert werden können:

\begin{array} {} tanh(x) &=& \dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\ sech(x) &=& \dfrac{1}{cosh(x)} \\ {}csch(x) &=& \dfrac{1}{sinh(x)} \\ ctgh(x) &=& \dfrac{1}{tanh(x)} \end{array}

Für ihre Integration sind jedoch andere Techniken erforderlich, die wir in späteren Unterrichtseinheiten behandeln werden.

Integrale grundlegender trigonometrischer Funktionen

Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen sind sin(x) und cos(x). Die Berechnung ihrer Integrale ergibt sich direkt aus dem, was wir bereits über ihre Ableitungen wissen.

\begin{array} {} \displaystyle \int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \\ {} \displaystyle \int cos(x) dx = sen(x) + C \end{array}

Dies gilt, weil

\begin{array} {} \dfrac{d}{dx}\left( sin(x) + C \right) &=& cos(x) \\ \\ {} \dfrac{d}{dx}\left( cos(x) + C \right) &=& -sin(x) \\ \\ \end{array}

Fazit

In dieser Unterrichtseinheit haben wir die unbestimmten Integrale von ihren theoretischen Grundlagen bis zu den elementarsten praktischen Anwendungen untersucht. Wir haben gelernt, sie als den umgekehrten Prozess der Ableitung zu erkennen, ihre grundlegenden Eigenschaften zu identifizieren und direkte Techniken anzuwenden, um einfache polynomiale, exponentielle, logarithmische, hyperbolische und trigonometrische Funktionen zu integrieren. Dieses Wissen bildet die wesentliche Grundlage, um zukünftig komplexere Integrationsprobleme zu bewältigen, und ist von zentraler Bedeutung für das Studium fortgeschrittener Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen und anderen Wissenschaften. Mit diesen Grundlagen wird es möglich sein, in zukünftigen Lektionen fortgeschrittenere Techniken einzuführen.