Zusammenfassung:
Diese Unterrichtseinheit führt das Konzept des thermodynamischen Limits ein, um zu erklären, wie einige physikalische Systeme statistisch behandelt werden. Es wird eine Analogie von Teilchen verwendet, die gegen eine Wand prallen, wobei der Druck als die Gesamt­kraft pro Flächeneinheit definiert wird. Betrachtet man eine unendliche Fläche, so berechnet man den Druck in einem Behälter aus dem Impuls, den die Moleküle auf dessen Wände ausüben.

Lernziele:
Nach Abschluss dieser Unterrichtseinheit wird der Student in der Lage sein:

1. Erläutern, wie das thermodynamische Limit bei der Definition des Drucks in Bezug auf Gesamt­kraft und Fläche angewendet wird
2. Verstehen, wie das thermodynamische Limit in der statistischen Physik und in der kinetischen Gastheorie angewendet wird.
3. Verstehen, den Unterschied zwischen intensiven und extensiven Variablen.
4. Verstehen, die grundlegenden Ideen hinter den verschiedenen Ansätzen, mit denen die Thermodynamik untersucht wird.

INHALTSVERZEICHNIS:
EINFÜHRUNG DES DRUCKS IM THERMODYNAMISCHEN LIMIT
DAS THERMODYNAMISCHE LIMIT
EXTENSIVE UND INTENSIVE VARIABLEN
ANSÄTZE DER THERMODYNAMIK

Einführung des Drucks im thermodynamischen Limit

Das Konzept des thermodynamischen Limits erlaubt zu verstehen, warum bestimmte physikalische Systeme statistisch behandelt werden können. Dies liegt an der großen Anzahl von Teilchen, aus denen sie bestehen. Eine einfache Möglichkeit, dies zu demonstrieren, ist durch eine Analogie. Stell dir vor, du hast eine Teilchenkanone, die Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit gegen eine Wand schießt; da die Teilchen Masse haben, übertragen sie beim Aufprall gegen die Wand etwas von ihrem Impuls und üben somit einen gewissen Stoß aus.

So kann man, wenn man die Geschwindigkeit und die Masse kennt, die Kraft berechnen, die jedes Teilchen ausübt. Stell dir nun vor, es ist keine Kanone, sondern ein gleichmäßig konzentrierter Regen unzähliger Teilchen, der eine Region des Bodens trifft, die so groß sein kann, wie wir wollen. Was ergibt sich daraus?

1. Die mittlere Kraft nimmt zu, je größer die betrachtete Fläche ist. Das ist sinnvoll, weil mit größerer Fläche mehr Teilchen getroffen werden.
2. Auch wenn die Kraft, die jedes Teilchen ausübt, schwankt, wird dies „geglättet“ und tendiert zu einem Durchschnittswert. Tatsächlich können die Schwankungen groß sein, aber wenn wir die Fläche vergrößern, wird die Gesamtkraft so enorm sein, dass eine solche Schwankung unbedeutend wird.

Da die insgesamt ausgeübte Kraft proportional zur Fläche ist, macht es Sinn, folgende Definition aufzustellen:

Definition

Der Druck P, der durch eine Gesamtkraft \vec{F} auf eine Fläche {A} ausgeübt wird, wird definiert als der Grenzwert \color{blue}{\displaystyle P = \lim_{A\to\infty} \frac{\vec{F}\cdot \hat{n}}{A}} wobei \hat{n} der Normalenvektor zur Oberfläche ist. Dies wird häufig verkürzt geschrieben als \displaystyle P = \frac{F}{A}

Der in unserer Analogie eingeführte Druck ändert sich nicht, wenn die Fläche vergrößert wird; im Gegenteil, die Schwankungen des Drucks tendieren zum Verschwinden. Tatsächlich können die Schwankungen vernachlässigt werden, wenn wir den Grenzfall betrachten, in dem die Fläche gegen unendlich geht.

Das thermodynamische Limit

Wenn wir die Moleküle in Bewegung in einem Behälter betrachten, üben sie jedes Mal, wenn sie gegen die Grenze stoßen, einen gewissen Impuls darauf aus. Der kollektive Effekt all dieser Impulse ist das, was wir als Druck interpretieren: eine Kraft pro Flächeneinheit, die über die gesamte Oberfläche verteilt ist. Wenn der Behälter sehr klein wäre, müssten wir uns vielleicht um die Schwankungen der Kraft kümmern; doch in den meisten Fällen ist die Anzahl der Teilchen so groß, dass die Schwankungen vernachlässigt werden können. Der Druck eines Gases unter diesen Bedingungen wird als vollkommen gleichmäßig angesehen. Diese Beschreibung, die wir gerade gegeben haben, ist das, was man als „sich im thermodynamischen Limit befinden“ versteht.

Extensive und intensive Variablen

Angenommen, ein Behälter mit Volumen V enthält ein Gas bei Temperatur T, Druck P und seine gesamte kinetische Energie sei U. Stellen wir uns nun vor, wir bringen eine Barriere in den Behälter, die das Gas in zwei gleiche Hälften trennt. Dann wird das Volumen jeder Hälfte V^* sein

\displaystyle V^* = \frac{V}{2}

Die gesamte kinetische Energie jeder Hälfte U^* wird ebenfalls die Hälfte sein

\displaystyle U^* = \frac{U}{2}

Größen wie Temperatur und Druck werden jedoch in beiden Hälften gleich sein

P^* = P

T^* = T

Hieraus ergibt sich eine Unterscheidung zwischen den in der Thermodynamik beteiligten Größen. Wir sprechen von extensiven Variablen, wenn die von ihnen repräsentierten Größen mit der Größe des Systems skalieren, wie das Volumen oder die Energie, und wir verstehen intensive Variablen als Größen, die nicht mit der Größe des Systems skalieren, wie der Druck und die Temperatur.

Ansätze der Thermodynamik

Historisch hat sich die Thermodynamik in verschiedenen Phasen entwickelt, die uns mehrere Ansätze hinterlassen haben.

• Die klassische Thermodynamik befasst sich mit makroskopischen Eigenschaften wie Druck, Temperatur und Volumen, ohne sich um die mikroskopischen Aspekte der Materie zu kümmern. Sie behandelt Systeme, die groß genug sind, um die Schwankungen vor dem thermodynamischen Limit zu ignorieren, und ignoriert die atomare Struktur der Materie.
• Die kinetische Gastheorie versucht, die Eigenschaften von Gasen zu bestimmen, indem sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen berücksichtigt, die mit der Bewegung ihrer Moleküle verbunden sind. Ihr Anfang war umstritten, weil es, als sie geschaffen wurde, noch Zweifel an der Existenz von Atomen und Molekülen gab, die erst Ende des 19. Jahrhunderts nachgewiesen wurde.
• Die Entdeckung der Atome führte zur Entwicklung der Statistischen Mechanik. Anstatt mit der Beschreibung der makroskopischen Eigenschaften zu beginnen, wie es in der Thermodynamik geschieht, beginnt ihr Ansatz mit dem Versuch, die Zustände einzelner mikroskopischer Systeme zu beschreiben und dann mithilfe statistischer Methoden die makroskopischen Eigenschaften des Systems abzuleiten. Dieser Ansatz wird durch die Entwicklung der Quantenmechanik begünstigt, weil er die Beschreibung von Quantensystemen ermöglicht. So ergibt sich das in der Thermodynamik Beschriebene als ein Grenzprozess der statistischen Mechanik im thermodynamischen Limit.