Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen
Zusammenfassung:
In dieser Lektion wird die formale Definition des Grenzwerts von Funktionen einer reellen Variablen eingehend behandelt. Auf dieser Grundlage werden die wichtigsten Eigenschaften bewiesen, die zur Algebra der Grenzwerte führen.
Lernziele:
Am Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein:
- Die Definition des Grenzwerts von Funktionen einer reellen Variablen zu erinnern.
- Die Eigenschaften, die zur Algebra der Grenzwerte führen, mittels \epsilon-\delta-Beweisen herzuleiten.
- Grenzwerte von Funktionen einer reellen Variablen mithilfe der Grenzwertalgebra und ihrer Eigenschaften zu berechnen.
INHALTSVERZEICHNIS
Einleitung
Die intuitive Vorstellung des Grenzwerts einer Funktion aus graphischer Sicht
Die formale Definition des Grenzwerts
Eigenschaften von Grenzwerten
Wenn der Grenzwert existiert, dann ist er eindeutig
Algebra der Grenzwerte
Berechnung einfacher Grenzwerte
Einleitung
Was ist der Unterschied zwischen dem Studium der Algebra und der Geometrie im Vergleich zum Studium der Analysis? Die Antwort auf diese Frage liefert uns das Konzept des Grenzwerts. In diesem Artikel wird daher der Grenzwert und seine Definition behandelt.
Das Wort „Grenzwert“ assoziieren wir normalerweise mit einer Art Grenze, wie dem Rand eines Intervalls mit den Endpunkten a, b (unabhängig von deren Natur)
[a,b[\;\; ;\;\; ]a,b]\;\; ; \;\; ]a,b[\;\; ; [a,b] ,
oder auch mit der Gegenwart, die man als Grenze zwischen Vergangenheit und Zukunft betrachten kann. In ähnlicher Weise bringt die Idee des Grenzwerts ein mathematisches Verständnis dieser intuitiven Vorstellung zum Ausdruck, sich asymptotisch einem bestimmten Punkt zu nähern.
Die intuitive Vorstellung des Grenzwerts einer Funktion aus graphischer Sicht
Um die Idee des Grenzwerts zu visualisieren, ist es sinnvoll, mit der grafischen Darstellung einer Funktion zu beginnen und zu fragen, was mit f(x) geschieht, wenn sich x beliebig nahe an x_0 annähert.
Wenn x nahe bei x_0 liegt, dann existiert ein offenes Intervall mit Radius \delta und Mittelpunkt x_0, sodass x darin enthalten ist. Dies lässt sich auf drei verschiedene Arten darstellen:
|x-x_0|\lt \delta,
|x\in]x_0 - \delta , x_0 + \delta[ ,
oder auch x\in\mathcal{B}(x_0,\delta)
In unserem Kontext sind dies drei gleichwertige Ausdrucksweisen, wobei die letzte, die gelesen wird als „x ist enthalten in der offenen Kugel mit Zentrum x_0 und Radius \delta“, eher für einen Topologiekurs geeignet wäre, in dem das Thema der „Nähe“ wesentlich vertiefter behandelt wird.
Wenn dies der Fall ist, dann sehen wir, dass ein weiteres offenes Intervall mit Mittelpunkt l und Radius \epsilon existiert, sodass f(x) darin enthalten ist, das heißt: |f(x) - l|\lt \epsilon.
Hieraus ergibt sich die Grundidee des mathematischen Grenzwertbegriffs, nämlich dass der Grenzwert existiert, wenn: Falls 0 \lt|x-x_0|\lt \delta, dann |f(x)-l|\lt \epsilon; und dieser Wert l wird dann als der Grenzwert der Funktion bezeichnet, wenn sich x beliebig nahe an x_0 annähert.
Die formale Definition des Grenzwerts
Ausgehend von der zuvor dargestellten intuitiven und graphischen Auffassung lässt sich die formale Definition des Grenzwerts erarbeiten. Wir sagen, dass der Grenzwert existiert, wenn – unabhängig davon, wie \epsilon (also der Abstand zwischen f(x) und l) gewählt wird – immer ein \delta existiert, sodass gilt: Wenn 0 \lt|x-x_0|\lt \delta, dann folgt |f(x) - l|\lt \epsilon. Diese Idee, die anfangs schwer zu erfassen ist und vielen Studierenden der Analysis weltweit Tränen bereitet, lässt sich durch den folgenden Ausdruck zusammenfassen:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l := \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - l|\lt \epsilon\right),
Eigenschaften von Grenzwerten
Das Wichtige an einer formalen Definition des Grenzwerts ist, dass wir nun auf dieser Grundlage sowohl die intuitiven als auch die weniger offensichtlichen Eigenschaften beweisen können.
Bevor wir fortfahren, ist es – obwohl nicht zwingend erforderlich – sehr empfehlenswert, einige Konzepte der mathematischen Logik zu wiederholen, um die folgenden Beweise leichter nachvollziehen zu können.
Wenn der Grenzwert existiert, dann ist er eindeutig
Zum Beweis dieser Eigenschaft verwenden wir die Methode des Widerspruchsbeweises. Wir beginnen mit der Definition der folgenden Menge von Prämissen:
\displaystyle\mathcal{H}= \{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\}.
Ausgehend davon können wir den folgenden formalen Beweis aufbauen:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon\right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash L \neq L^\prime ; Annahme |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); \wedge–Einführung(1,2) |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); Monotonie(4) |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \epsilon = \frac{L - L^\prime}{2}\gt 0 ; Da L \lt L^\prime |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \frac{L - L^\prime}{2} \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \frac{L - L^\prime}{2}\right) \right] \right. ); Verwendung von (5,6) |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( 2 |f(x) - L |\lt L - L^\prime ) \wedge ( 2|f(x) - L^\prime |\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2 (f(x) - L )\lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2(f(x) - L^\prime )\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L \lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L^\prime \lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) \wedge ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) \wedge ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) ]) | |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \bot ; Aus (1,2,6,7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\gt L^\prime\}\vdash \bot ; Gleiche Vorgehensweise wie in (8) |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [(L\lt L^\prime) \vee (L\gt L^\prime)] \rightarrow \bot ; \vee-Einführung (8,9) |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [L\ \neq L^\prime] \rightarrow \bot ; Def(10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \bot ; MP(3,11) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\right\} \vdash \bot | |
| (13) | \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash \neg(L\neq L^\prime) ; Widerspruch(12) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash L = L^\prime. |
Aus diesem Beweis folgt, dass, wenn zwei Grenzwerte existieren, sie gleich sein müssen und somit der Grenzwert eindeutig ist.
Algebra der Grenzwerte
Mit dem bisher Gelernten haben wir das Wesentliche der mathematischen Grenzwertidee betrachtet. Aber das allein reicht bei weitem nicht aus, um Grenzwerte praktisch zu berechnen – nur ein Wahnsinniger, der nach Leiden dürstet, würde versuchen, Grenzwerte allein über die Definition zu berechnen. Um dieses Problem zu lösen, beschäftigen wir uns nun mit Techniken, die uns helfen werden, einige Grenzwerte zu berechnen.
Seien x_0, \alpha, \beta, L, M \in \mathbb{R}, und seien f und g reelle Funktionen, sodass gilt:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) = M
Dann gelten die folgenden Eigenschaften:
Grenzwert der Summe und der Differenz von Funktionen
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha L \pm \beta M
Beweis:
Betrachten wir die Menge der Prämissen \displaystyle\mathcal{H}=\left\{\lim_{x\to x_0} f(x) = L, \lim_{x\to x_0} g(x) = M \right\}, so können wir daraus folgendes ableiten:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha||f(x) - L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon}:= |\alpha|\epsilon ; Def. |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt \overline{\epsilon} \right) ; Aus (1,2) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\alpha f(x) = \alpha L | |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}g(x) = M ; Annahme |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\beta g(x) = \beta M ; Analog zu (3) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right) | |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow \left[|\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right] \right) ; aus (3,5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \leq |\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M| ; Dreiecksungleichung: (\forall x,y\in\mathbb{R})(|x+y|\leq |x|+|y|) |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right) ; aus (6,7) |
| (9) | \epsilon^* := \overline{\epsilon} + \overline{\overline{\epsilon}}; Definition |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon^* \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha L - \beta M| \lt \epsilon^* \right) ; aus (8,9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha L + \beta M | |
| (11) | \gamma:= - \beta; Definition |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \gamma g(x)) = \alpha L + \gamma M ; Analog zu (10) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) - \beta g(x)) = \alpha L - \beta M ; aus (11,12) |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) \pm \beta g(x)) = \alpha L \pm \beta M ; aus (10,13) |
Grenzwert des Produkts von Funktionen
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left( f(x) g(x) \right) = L M
Dieser Beweis ist etwas schwieriger als der vorherige, aber nichts, was wir nicht mit ein paar drakonischen Tricks lösen könnten. Unter Verwendung desselben Prämissensatzes \mathcal{H} wie im vorherigen Beweis können wir das folgende Argument aufbauen:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon} := \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2} ; Definition |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} f(x) = L ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} = \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right) ; aus (1) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\overline{\epsilon}} := \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2}; Definition |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} g(x) = M ; Annahme |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} = \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)}\right) ; aus (3) | |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)| - |L| \lt |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} \lt 1 ; Dreiecksungleichung + Spezialfall für \overline{\epsilon} |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)|\lt 1 + |L| ; aus (5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| - |M| \lt |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} \lt 1 ; Dreiecksungleichung + Spezialfall für \overline{\overline{\epsilon}} |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| \lt 1 + |M| ; Aus (7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)g(x) - Mf(x) + Mf(x) - LM |; Null addieren |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)(g(x) - M) + M (f(x) - L) |; Faktorisieren | |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq | f(x)(g(x) - M)| + | M (f(x) - L) |; Dreiecksungleichung (9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq |f(x)||g(x) - M| + |M| |f(x) - L| | |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\lt (1 + |L|)|g(x) - M|+ |M|\overline{\epsilon}; Aus (5,6,10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\overline{\overline{\epsilon}} + |M|\overline{\epsilon}\right]; Aus (11) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} + |M|\frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right]; Aus (1,3,12) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt \frac{|\epsilon|}{2} + \frac{|\epsilon||M|}{2(|M|+1)} \lt \frac{|\epsilon|}{2}+ \frac{|\epsilon|}{2} = |\epsilon| \right] | |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \right]; Aus (11,13) |
| (15) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash (\forall \epsilon \gt 0 ) (\exists \delta \gt 0 ) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \leq \epsilon \right) ; Aus (1,2,4,14) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) = LM. |
Grenzwert der konstanten Funktion
Der Grenzwert der konstanten Funktion f(x)=c ist die Konstante c. Das heißt:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c
Beweis
Der Beweis hierfür ist tatsächlich einfach, denn es handelt sich um eine Tautologie. Man weiß bereits:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |c-c|\lt \epsilon)
Aber es gilt, dass 0=|c-c|\lt \epsilon eine Tautologie für jedes positive Epsilon ist, sodass auch die Implikation eine Tautologie ist und folglich der Ausdruck \displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c ebenfalls eine Tautologie darstellt.
Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen
Nun sind wir in der Lage, die Regel für den Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen zu beweisen. Diese lautet:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}
Dabei setzen wir wie bei den vorherigen Eigenschaften voraus, dass folgendes Prämissenset gilt:
\displaystyle \mathcal{H}=\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}g(x) = M\}
Beweis
Glücklicherweise müssen wir jetzt keine so ausführlichen Beweise mehr führen wie bisher, da wir nun die zuvor bewiesenen Resultate direkt anwenden können. Doch zuvor zeigen wir zunächst, dass
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Um dies zu beweisen, genügt es, die Regel für den Grenzwert eines Produkts und den Grenzwert einer konstanten Funktion zu kombinieren – wir müssen lediglich darauf achten, dass g(x) nicht null ist:
\displaystyle 1 = \lim_{x\to x_0}\left( 1 \right) \lim_{x\to x_0}\left( g(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \lim_{x\to x_0}g(x) \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = M \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)}
Daraus folgt: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Schließlich ergibt sich nach der Regel für den Grenzwert eines Produkts:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} f(x) \frac{1}{g(x)}= L \cdot\frac{1}{M} = \frac{L}{M}
Dies gilt, solange M ungleich null ist.
Grenzwert einer natürlichen Potenz
Diese Eigenschaft besagt, dass, wenn \displaystyle \lim_{x_0 \to x_0}f(x) = L, dann gilt auch: \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right). Dies lässt sich durch vollständige Induktion beweisen.
Beweis:
- Fall n=1: (Induktionsanfang)
\displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^1 = \lim_{x\to x_0} f(x) = L. Damit ist der Induktionsanfang abgeschlossen ✅
- Fall n=k: (Induktionsschritt)
Angenommen, es gilt: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^k = L^k (Induktionsvoraussetzung). Wir zeigen nun, dass daraus folgt: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L^{k+1} .
Es gilt: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = \lim_{x\to x_0} \{f(x) [f(x)]^k\} = \lim_{x\to x_0}f(x) \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k}. Dies folgt aus der zuvor bewiesenen Regel für den Grenzwert eines Produkts.
Nach der Induktionsvoraussetzung gilt dann: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L\cdot L^k = L^{k+1}. Damit ist der Induktionsschritt abgeschlossen ✅
- Somit gilt: \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right).
Grenzwert einer n-ten Wurzel
Analog zur Potenz gilt, dass \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \right)
Beweis:
Unter Anwendung der zuvor bewiesenen Potenzregel ergibt sich:
\displaystyle L= \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} \left[\sqrt[n]{f(x)}\right]^n = \left[ \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)}\right]^n
Daraus folgt: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} =\sqrt[n]{L}.
Grenzwert von Potenzen mit rationalem Exponenten
Mit der vereinten Kraft der letzten beiden Beweise können wir unseren letzten Beweis abschließen. Er lautet: \displaystyle \left(\forall p,q\neq 0 \in \mathbb{Z}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left[f(x)\right]^{\frac{p}{q}} = L^{\frac{p}{q}} \right). Dieser folgt aus der Produktregel, da \displaystyle [f(x)]^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{f(x)}]^p und \displaystyle L^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{L}]^p.
Grenzwert \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0
Mit diesem Beweis schließen wir diese Reihe von Beweisen ab, und gemeinsam mit den vorherigen sind wir nun in der Lage, viele Grenzwerte fast intuitiv zu berechnen.
Es ist leicht zu zeigen, dass \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0, denn damit dies gilt, muss erfüllt sein:
(\forall \epsilon \gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt |x-x_0|\lt \delta\rightarrow |x-x_0|\lt \epsilon)
Gemäß der Definition des Grenzwerts muss es für jedes Epsilon mindestens ein Delta geben, sodass die restlichen Bedingungen erfüllt sind. Es genügt also, ein solches Delta anzugeben, um zu verifizieren, dass der Grenzwert tatsächlich der angegebene ist. Und das ist offensichtlich, denn jede Wahl von \delta\leq\epsilon erfüllt diese Bedingung. Somit gilt: \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0.
Berechnung einfacher Grenzwerte
Dank all dieser soeben behandelten Theoreme lässt sich eine große Vielfalt an Grenzwerten auf ziemlich intuitive Weise berechnen, fast so, als ob man einfach die Funktion auswerten würde. Hier siehst du einige Beispiele:
- {}\\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2 + 4x) & = \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2) + \lim_{x\to 2}(4x) \\ \\ & = \displaystyle \left(\lim_{x\to 2} x \right)^2 + 4\lim_{x\to 2} x \\ \\ & = (2)^2 + 8 = 12 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1}\left.\frac{(3x-1)^2}{(x+1)^3} \right. & = \displaystyle \frac{(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3} \\ \\ & = \displaystyle \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2 - 4} &= \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x+2} = \dfrac{1}{4} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} &= \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 -x^3}{h} \\ \\ & = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{3x^2 h + 3xh^2}{h} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{h\to 0} 3x^2 + 3xh = 3x^2 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } &=\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 -1 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x-1)(x+1) } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{ x+1 } \\ \\ & =\displaystyle \frac{2+2}{2} =2 \end{array}