Einleitung

Das Erlernen der Faktorisierung quadratischer Polynome ist der erste Schritt, um viele andere Faktorisierungstechniken zu studieren. Deshalb werden wir diese Methode gründlich untersuchen und ihre Anwendung so weit wie möglich erweitern. Am Ende wirst du nicht nur gelernt haben, ein quadratisches Polynom (zweiten Grades) zu faktorisieren, sondern du wirst dieselben Techniken auch verwenden, um jedes (2n)-quadratische Polynom zu faktorisieren.

Quadratisches Polynom und (2n)-quadratisches Polynom

Ein quadratisches Polynom ist ein Polynom zweiten Grades. Daraus folgt, dass ein quadratisches Polynom jede Funktion der Form ist:

P(x) = ax^{2}+bx +c

mit a,b,c\in\mathbb{R} und a\neq 0. Unser Studium konzentriert sich jedoch nicht nur auf die Faktorisierung von Polynomen in dieser Form, sondern wir zielen auf eine verallgemeinerte Form ab, deren Spezialfall das quadratische Polynom ist. Wir sprechen vom (2n)-quadratischen Polynom. Diese Verallgemeinerung umfasst alle Polynome, die sich in der Form schreiben lassen:

P(x) = ax^{2n}+bx^n +c

wobei neben der Annahme a,b,c\in\mathbb{R} und a\neq 0 auch ein beliebiges n\in\mathbb{N} gewählt wird. Beispiele für diese Art von Polynom wären:

• P(x) = 3x^2 -x + 1
• Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
• R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
• S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9

und so weiter im Allgemeinen.

Faktorisierung des quadratischen Polynoms

Wie wir bereits gesehen haben, hat ein Polynom zweiten Grades die allgemeine Form

P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0

Die Faktorisierung ist der Prozess, bei dem ein komplexes Polynom in das Produkt zweier einfacherer Polynome zerlegt wird. Wenn eine Faktorisierung möglich ist, dann existieren Konstanten \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R}, mit \alpha, \gamma \neq 0, so dass gilt:

Da es sich um eine Gleichheit zwischen der linken und der rechten Seite handelt, gilt: Wenn eine Seite Null ist, muss zwangsläufig auch die andere Seite Null sein. Die rechte Seite wird Null, wenn x=-\beta/\alpha oder x=-\delta/\gamma. Sehen wir nun, für welche Werte sich die linke Seite dieser Gleichung annulliert. Wir erhalten:

Aus diesem Argument folgt, dass die griechischen Buchstaben in der Faktorisierung (ohne Allgemeingültigkeit einzubüßen) die folgenden Bedingungen erfüllen müssen:

• \alpha\gamma = a
• \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = - \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
• \displaystyle \frac{\delta}{\gamma} = - \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)

Damit haben wir eine Technik, die es uns ermöglicht, jedes Polynom zweiten Grades zu faktorisieren. Falls dies nicht möglich ist, wird dies durch die Zahl unter der Wurzel angezeigt: Ist diese negativ, so ist eine Faktorisierung (mit reellen Zahlen) nicht möglich. All dies lässt sich vereinfachen, indem wir folgende Notationskonvention einführen:

• x_1 =\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
• x_2 =\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}

Dies lässt sich zusammenfassen in der altbewährten Formel:

\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅

Somit ergibt sich die Faktorisierung schließlich in der Form:

\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅

Erweiterung zur Faktorisierung des bikvadratischen Polynoms

Diese Technik kann auch zur Faktorisierung des bikvadratischen Polynoms wie folgt verwendet werden:

Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)

Wobei x^2_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. Auf diese Weise kann man schreiben:

Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)

An dieser Stelle ist Vorsicht geboten, denn das Folgende unterliegt gewissen Einschränkungen. Wenn x_1^2 keine positive Zahl ist, dann kannst du die Differenz zweier Quadrate verwenden, um (x^2 - x_1^2) = (x - x_1)(x + x_1) zu schreiben; andernfalls triffst du auf komplexe Zahlen und kannst daher nicht mehr im Bereich der reellen Zahlen faktorisieren. Wenn die Wurzeln alle wohldefiniert sind, dann kann man schreiben:

\begin{array}{rl} Q(x) &= ax^4 + bx^2 + c \\ \\ & = a \left(x -\displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x + \displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \\ \\ & \left(x- \displaystyle \sqrt{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x+ \sqrt{\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \end{array}

Andernfalls bricht man den Prozess im vorherigen Schritt ab.

Verallgemeinerung auf die Faktorisierung des (2n)-quadratischen Polynoms

Damit ist klar, worauf die Methode hinausläuft: Um das (2n)-quadratische Polynom zu faktorisieren, muss man nur die Darstellung entsprechend anpassen und die vorherigen Methoden dort anwenden, wo die Wurzeln wohldefiniert sind. So ergibt sich:

R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n)

Wobei x^n_{1,2} =\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. Anschließend trennt man durch Summe und Differenz, wo immer keine komplexen Zahlen auftreten.

Beispielaufgaben:

Jetzt bist du an der Reihe, diese Techniken mit einigen Aufgaben auszuprobieren. Die folgenden Polynome wurden völlig zufällig ausgewählt und eignen sich hervorragend, um die möglichen Schwierigkeiten beim Faktorisieren solcher Ausdrücke zu erkennen.

Erste Runde

Diese Polynome wurden zu Beginn dieses Abschnitts als Beispiele verwendet:

1. P(x) = 3x^2 -x + 1
2. Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
3. R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
4. S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9

Zweite Runde

Und hier sind noch ein paar etwas schwierigere Aufgaben:

1. P(x) = 78x^2 -21x - 13
2. Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
3. R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
4. S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
5. T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15

Lösungen zu den Aufgaben