Empirische Formulierung des idealen Gases

Hast du dich jemals gefragt, warum sich ein Ballon beim Erhitzen ausdehnt oder warum sich der Reifendruck mit der Höhe verändert? In dieser Lektion werden wir die Gesetze untersuchen, die diese Phänomene regeln, und wie sie zur Gleichung des idealen Gases führen, einschließlich ihrer Überlegungen und wichtigen Punkte.

Lernziele
Am Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein:

1. Zu erklären die empirischen Gesetze der idealen Gase (Boyle–Mariotte, Charles, Gay-Lussac) und ihre Zusammenfassung in der Zustandsgleichung (PV = nRT, PV = N k_B T).
2. Anzuwenden die Gleichung der idealen Gase und die Beziehung PV/T = cte, um Zustandsänderungen mit kohärenten Einheiten zu lösen.
3. Zu analysieren isotherme, isobare und isochore Prozesse sowie deren Trajektorien in P–V-, V–T– und P–T-Diagrammen.
4. Zu erkennen den Gültigkeitsbereich des idealen Gases und alternative Modelle (van der Waals, quantenmechanisch, relativistisch) auszuwählen, wenn es angebracht ist.

INHALTSVERZEICHNIS
Grundlegende empirische Gesetze
Kombination der Gesetze in der Gleichung der idealen Gase
Ableitungen durch Prozesse
Kommentare und mikroskopischer Hintergrund
Gültigkeitsbereich und Einschränkungen
Praktische Hinweise

Grundlegende empirische Gesetze

Experimente mit Gasen zeigen eine Abhängigkeit zwischen dem Druck P, dem Volumen V und der Temperatur T. Unter kontrollierten Bedingungen werden drei grundlegende empirische Gesetze beobachtet:

1. Boyle–Mariotte-Gesetz (isotherm): In einem Prozess bei konstanter Temperatur sind das Volumen und der Druck eines Gases umgekehrt proportional; das heißt:
   P \propto \dfrac{1}{V}\quad\Leftrightarrow\quad PV=\text{konst.}
   Beispiel: Ein Gas, das sich bei einem Anfangsdruck von P_1 = 15\ \mathrm{MPa} isothermisch von einem Anfangsvolumen V_1 = 1{,}00\ \mathrm{L} auf ein Endvolumen V_2 = 2{,}00\ \mathrm{L} ausdehnt, wird seinen Druck auf die Hälfte reduzieren. Da das Produkt PV=\text{konst.} gilt, folgt P_1 V_1 = P_2 V_2, was führt zu:

   P_2 = \dfrac{P_1 V_1}{V_2} = 15\ \mathrm{MPa}\left(\dfrac{1{,}00\ \mathrm{L}}{2{,}00\ \mathrm{L}}\right) = 7{,}50\ \mathrm{MPa}

   
2. Charles-Gesetz (isobar): In einem Prozess bei konstantem Druck sind das Volumen und die Temperatur eines Gases direkt proportional; das heißt:
   V \propto T \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{V}{T}=\text{konst.}
   Beispiel: Ein Gas, das bei einer Anfangstemperatur von T_1 = 300\ \mathrm{K} isobar auf T_2 = 450\ \mathrm{K} erhitzt wird und ein Anfangsvolumen von V_1 = 2{,}00\ \mathrm{L} besitzt, wird sein Volumen um 50 % erhöhen (ein Faktor von \tfrac{3}{2}). Da \tfrac{V}{T}=\text{konst.} gilt, folgt \dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}, was führt zu:

   V_2 = V_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 2{,}00\ \mathrm{L}\left(\dfrac{450\ \mathrm{K}}{300\ \mathrm{K}}\right) = 3{,}00\ \mathrm{L}

   

3. Gay-Lussac-Gesetz (isochor): In einem Prozess bei konstantem Volumen sind der Druck und die Temperatur eines Gases direkt proportional; das heißt:
   P \propto T \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{P}{T}=\text{konst.}
   Beispiel: Ein Gas, das bei einer Anfangstemperatur von T_1 = 300\ \mathrm{K} isochor auf T_2 = 450\ \mathrm{K} erhitzt wird und einen Anfangsdruck von P_1 = 1{,}00\ \mathrm{MPa} besitzt, wird seinen Druck im gleichen Verhältnis erhöhen. Da \tfrac{P}{T}=\text{konst.} gilt, folgt \dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2}, was führt zu:

   P_2 = P_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 1{,}00\ \mathrm{MPa}\left(\dfrac{450\ \mathrm{K}}{300\ \mathrm{K}}\right) = 1{,}50\ \mathrm{MPa}

   

Kombination der Gesetze in der Gleichung der idealen Gase

Diese drei Gesetze können in einer einzigen Proportionalitätsbeziehung zusammengefasst werden:

PV \propto T

Aus experimentellen und mikroskopischen Überlegungen lässt sich die Proportionalitätskonstante als Produkt der Teilchenzahl N und der Boltzmann-Konstante k_B = 1{,}380\,649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}} ableiten, wodurch sich die mikroskopische Beziehung ergibt:

\boxed{PV = N\,k_B\,T}

Analog dazu erhält man in molarer Form die Proportionalitätskonstante als Produkt der Stoffmenge n und der universellen Gaskonstante R=8{,}314\,462\,6\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}=0{,}082\,057\ \mathrm{L\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}}, wodurch sich die molare Beziehung ergibt:

\boxed{PV = n\,R\,T}

Unabhängig vom betrachteten Fall besteht eine direkte Proportionalität zwischen dem Produkt PV und T. Das bedeutet, dass, wenn ein ideales Gas zwischen zwei Zuständen übergeht – einem mit Anfangswerten (P_\alpha, V_\alpha, T_\alpha) und einem mit Endwerten (P_\omega, V_\omega, T_\omega) –, diese die folgende Beziehung erfüllen:

\dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega}

und daher gilt PV/T = konst.

Diese Beziehung, die als experimentelle Grundlage sowohl für die mikroskopische als auch für die molare Formulierung verwendet werden kann, lässt sich direkt aus den experimentellen Gesetzen von Boyle-Mariotte, Charles und Gay-Lussac ableiten. Die Begründung ist wie folgt:

Dies kann auf drei Wegen gezeigt werden:

1. Eine Änderung des Volumens durch einen isothermen und einen isobaren Prozess
2. Eine Änderung des Drucks durch einen isothermen und einen isochoren Prozess
3. Eine Änderung der Temperatur durch einen isobaren und einen isochoren Prozess

Für die Entwicklung dieser drei Fälle benötigen wir einen Zwischenzustand mit den Werten (P_i,V_i,T_i)

Ableitungen nach Prozessen

Ableitung durch Volumenänderung

Wenn der Anfangszustand (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) durch einen isothermen Prozess mit dem Zwischenzustand (P_i,V_i,T_i) verbunden ist und anschließend der Zwischenzustand durch einen isobaren Prozess mit dem Endzustand (P_\omega,V_\omega,T_\omega) verbunden wird, gilt Folgendes:

\begin{array}{rclcl} & P_\alpha V_\alpha= P_i V_i & & V_i/T_i = V_\omega/T_\omega & \\ &\text{isotherm}& &\text{isobar} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{V_i} & \longrightarrow & P_\omega = P_i \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{P_i} & \longrightarrow & V_\omega = \dfrac{V_i T_\omega}{T_i} \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = T_\alpha & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{V_\omega T_i}{V_i} \end{array}

Daraus ergibt sich:

\begin{array}{rl} & V_\omega = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) V_i = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) \left(\dfrac{P_\alpha}{P_i} \right) V_\alpha = \dfrac{T_\omega P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha P_\omega} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}

Ableitung durch Druckänderung

Wenn der Anfangszustand (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) durch einen isothermen Prozess mit dem Zwischenzustand (P_i,V_i,T_i) verbunden ist und anschließend der Zwischenzustand durch einen isochoren Prozess mit dem Endzustand (P_\omega,V_\omega,T_\omega) verbunden wird, gilt Folgendes:

\begin{array}{rclcl} & P_\alpha V_\alpha= P_i V_i & & P_i/T_i = P_\omega/T_\omega & \\ &\text{isotherm}& &\text{isochor} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{V_i} & \longrightarrow & P_\omega = \dfrac{P_i T_\omega}{T_i} \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{P_i} & \longrightarrow & V_\omega = V_i \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = T_\alpha & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{V_\omega T_i}{V_i} \end{array}

Daraus ergibt sich:

\begin{array}{rl} & P_\omega = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) P_i = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) \left(\dfrac{V_\alpha}{V_i}\right)P_\alpha = \dfrac{T_\omega V_\alpha P_\alpha}{T_\alpha V_\omega} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}

Ableitung durch Temperaturänderung

Wenn der Anfangszustand (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) durch einen isobaren Prozess mit dem Zwischenzustand (P_i,V_i,T_i) verbunden ist und anschließend der Zwischenzustand durch einen isochoren Prozess mit dem Endzustand (P_\omega,V_\omega,T_\omega) verbunden wird, gilt Folgendes:

\begin{array}{rclcl} & V_\alpha/ T_\alpha= V_i / T_i & & P_i/T_i = P_\omega/T_\omega & \\ &\text{isobar}& &\text{isochor} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = P_\alpha & \longrightarrow & P_\omega = \dfrac{P_i T_\omega}{T_i} \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{V_\alpha T_i}{T_\alpha} & \longrightarrow & V_\omega = V_i \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = \dfrac{V_i T_\alpha}{V_\alpha} & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{P_\omega T_i}{P_i} \end{array}

Daraus ergibt sich:

\begin{array}{rl} & T_\omega = \left(\dfrac{P_\omega}{P_i}\right) T_i = \left(\dfrac{P_\omega}{P_i}\right) \left(\dfrac{V_i}{V_\alpha}\right)T_\alpha = \dfrac{P_\omega V_\omega T_\alpha}{P_\alpha V_\alpha} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}

Kommentare und mikroskopischer Hintergrund

Obwohl die obige Formulierung empirisch ist, kann sie aus den ersten Prinzipien der Kinetischen Gastheorie abgeleitet werden. In diesem Modell wird das Gas als eine Ansammlung von Teilchen betrachtet, die sich bewegen und sowohl miteinander als auch mit den Wänden des Behälters kollidieren. Es wird durch folgende Annahmen idealisiert:

1. Fehlen von Fernkräften (Anziehung oder Abstoßung) zwischen den Teilchen.
2. Punktförmige oder vernachlässigbar kleine kugelförmige Teilchen.
3. Vollständig elastische Stöße zwischen Teilchen und mit den Wänden.

Diese Idealisierungen vereinfachen die Analyse, und obwohl kein reales Gas sie exakt erfüllt, beschreiben sie viele Gase in einem breiten Bereich von Bedingungen gut und bilden die Grundlage der Klassischen Thermodynamik mit Anwendungen, die von Wärmekraftmaschinen bis zur Atmosphärenphysik und Astrophysik reichen.

Gültigkeitsbereich und Einschränkungen

Das Gesetz der idealen Gase ist nicht universell. Es weicht ab, wenn die obigen Annahmen nicht mehr vernünftig sind oder wenn Effekte außerhalb der klassischen Physik auftreten.

• Hoher Druck und niedrige Temperaturen: Die Wechselwirkungen zwischen Molekülen sind nicht mehr vernachlässigbar, und die endliche Größe der Teilchen wird wichtig. Eine häufig verwendete Korrektur ist die van-der-Waals-Gleichung:
  \left(P + a\left(\dfrac{n}{V}\right)^2\right)\,(V - nb)=nRT

  mit den Parametern a und b, die für jedes Gas charakteristisch sind.

• Quantenzustand: Bei sehr niedrigen Temperaturen oder hohen Dichten treten Bose–Einstein- oder Fermi–Dirac-Statistiken auf, die Modelle von Quantengasen erfordern.
• Relativistischer Bereich: Wenn sich Teilchen mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen, sind relativistische Korrekturen erforderlich.

Praktische Hinweise

• Verwende in den Formeln immer die Temperatur in Kelvin: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
• Achte auf die Einheitlichkeit der Einheiten: Wenn du mit \mathrm{atm} und \mathrm{L} arbeitest, verwende R=0{,}082\,057\ \mathrm{L\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}}; wenn du \mathrm{Pa} und \mathrm{m^3} verwendest, verwende R=8{,}314\,462\,6\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
• Denke daran, dass jedes empirische Gesetz unter der Bedingung einer konstant gehaltenen Variablen gewonnen wurde. Die Kombination von Ergebnissen erfordert ein klares Verständnis, welcher thermodynamische Prozess in jeder Phase durchgeführt wird.