Der Sandwich-Satz zur Grenzwertberechnung
Zusammenfassung:
Diese Unterrichtseinheit behandelt den Sandwich-Satz, ein zentrales Hilfsmittel der Analysis zur Bestimmung schwieriger Grenzwerte mithilfe einfacherer Funktionen, die von oben und unten abschätzen. Es wird eine grafische Veranschaulichung und ein formaler Beweis präsentiert, gefolgt von praktischen Beispielen. Ziel ist es, dass die Studierenden verstehen, wie man diesen Satz effizient zur Grenzwertberechnung einsetzt.
Lernziele:
Nach Abschluss dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein,
- zu verstehen, welchen Nutzen der Sandwich-Satz für die Berechnung von Grenzwerten hat.
- Funktionen zu identifizieren, die eine Zielfunktion abschätzen, um den Satz anwenden zu können.
- den Sandwich-Satz anzuwenden, um schwierige Grenzwerte zu berechnen.
- das Konzept des Sandwich-Satzes grafisch zu veranschaulichen.
- den Sandwich-Satz formal zu beweisen.
INHALTSVERZEICHNIS:
Einführung
Grafische Idee des Sandwich-Satzes
Beweis des Sandwich-Satzes
Beispiele
Einführung
Der Nutzen des Sandwich-Satzes liegt in der Vereinfachung schwieriger Grenzwertberechnungen mithilfe einfacherer Funktionen. Der Name stammt daher, dass man anstelle der direkten Berechnung des Grenzwerts einer Funktion für x\to x_0 zwei andere Funktionen verwendet, von denen eine von oben und die andere von unten abschätzt, und deren Grenzwert an der Stelle x_0 übereinstimmt und leicht zu berechnen ist. Da die ursprüngliche Funktion stets zwischen beiden liegt, ist sie „wie der Käse zwischen zwei Brotscheiben“.
Grafische Idee des Sandwich-Satzes
Die Idee hinter dem Satz ist eigentlich recht einfach. Nehmen wir an, wir möchten einen bestimmten schwierigen Grenzwert berechnen
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)
In der Regel nutzt man sein gesamtes Wissen über die Algebra von Funktionen, um den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen, bis man ihn direkt auswerten kann. Es gibt jedoch Situationen, in denen ein anderer Ansatz deutlich effizienter ist. Nehmen wir an, es existiert ein abgeschlossenes Intervall I, sodass x_0 \in I gilt, und außerdem existieren zwei weitere Funktionen m(x) und M(x), die die folgende Beziehung erfüllen:
(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )
Und zusätzlich gilt
\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L
Dann folgt daraus:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
Dies lässt sich in der folgenden Abbildung erkennen.
Beweis des Sandwich-Satzes
Um den Sandwich-Satz zu beweisen, folgen wir dem folgenden Gedankengang:
| (1) | x_0\in I; Prämisse |
| (2) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L ; Prämisse |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (3) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L ; Prämisse |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (4) | (\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) ); Prämisse |
| (5) | (\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L ); Aus (4) |
| (6) | (|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon) |
| (7) | (|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon) |
| (8) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) ); aus (2,3) |
| (9) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) ); aus (1,5,6,7,8) |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) ) | |
| \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare |
Beispiele
Mithilfe des Sandwich-Satzes lassen sich Grenzwerte von Funktionen berechnen, selbst wenn deren algebraischer Ausdruck nicht explizit bekannt ist. Im Folgenden einige Beispiele dafür:
Ein Beispiel ergibt sich in der folgenden Situation:
- Wenn \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2}, für -1\leq x\leq 1. Wie groß ist dann der Wert von \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)? [LÖSUNG]
Ein weiterer praktischer Anwendungsfall des Sandwich-Satzes ergibt sich, wenn der Grenzwert selbst nicht unmittelbar ersichtlich ist, wohl aber durch zwei einfachere Funktionen von oben und unten abgeschätzt werden kann – wie im folgenden Fall:
- Berechne: \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} [LÖSUNG]