Definition von Definitionsmenge, Wertemenge und Graph

An diesem Punkt haben wir bereits eine recht ausführliche Untersuchung zu linearen, quadratischen und ähnlichen Funktionen durchgeführt. Wir haben auch Kurven wie Geraden, Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln sowie Operationen mit Polynomen und algebraischen Funktionen im Allgemeinen behandelt. Mit diesen Vorkenntnissen wird es nun wesentlich einfacher, grundlegende Aspekte von Funktionen im Allgemeinen zu erfassen. Genau das werden wir nun tun, indem wir die Konzepte von Definitionsmenge, Wertemenge und Graph einführen.

Sei f eine Funktion definiert zwischen den Mengen A und B

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

Die Mengen A und B werden als „Eingabe-“ bzw. „Ausgabemengen“ bezeichnet. Ausgehend von diesen definiert man die folgenden Mengen:

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

Analyse von Beispielen

Alles, was man über die Konzepte von Definitionsmenge, Wertemenge und Graph lernen kann, ist zwar im Wesentlichen theoretischer Natur, doch das Verständnis ergibt sich weit mehr aus der Durchführung praktischer Beispiele – genau das werden wir nun anhand der folgenden drei Fälle tun:

Definitionsmenge, Wertemenge und Graph berechnen für: f(x) = \sqrt{1-x^2}

Beginnen wir diese Analyse, indem wir y=f(x) schreiben. Wenn wir dies tun, erhalten wir die Gleichung

y = \sqrt{1-x^2}

Wenn wir diesen Ausdruck quadrieren, gelangen wir schnell zu einer Gleichung, die uns bereits bekannt ist:

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

Das ist die Gleichung des Einheitskreises.

Wir müssen jedoch hier vorsichtig sein, denn durch das Quadrieren haben wir „zusätzliche Informationen hinzugefügt“. Algebraisch gibt es zwei Werte, die die Bedingung erfüllen, „die Quadratwurzel von“ zu sein. Am Ausgangspunkt dieser Analyse ist die Wurzel jedoch als Funktion definiert – und Funktionen haben nur genau einen Funktionswert. Es handelt sich um die Hauptwurzel. Aus diesem Grund bezieht sich die ursprüngliche Darstellung nur auf den oberen Halbkreis und nicht auf die vollständige Figur.

Aus dieser Figur ist klar, dass

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{R}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

Auch wenn ich diese Analyse aus einer grafischen Perspektive entwickelt habe, ist es ebenso möglich, dies aus einem analytischen Ansatz zu betrachten, indem man die involvierten Operationen untersucht.

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

Der Ausdruck 1-x^2 ist für alle reellen Zahlen definiert.

Die Wurzel hingegen ist nur für Werte größer oder gleich null definiert.

Daraus folgt:

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

Daher:\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{R}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

Analytische Methoden zur Bestimmung der Wertemenge sind im Allgemeinen wesentlich komplizierter. Die einfacheren Fälle lassen sich oft über die Umkehrfunktion lösen. Bevor wir dieses Thema jedoch im Detail behandeln, ist es ratsam, zunächst die Verkettung von Funktionen und einfachere Fälle zu studieren, um eine solide Grundlage zu erlangen. In der Zwischenzeit werden die grafischen Methoden, die wir bald behandeln, einen Großteil der Schwierigkeiten bei der Bestimmung der Wertemenge abdecken.

Analyse für: g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Eine Möglichkeit, den Definitionsbereich der Funktion schnell zu finden, besteht darin, nach den Werten von x zu fragen, die die Funktion „ruinieren“. Klar ist, dass die Funktion nur dann ruiniert wird, wenn der Nenner null wird. Das heißt:

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

Da keine reelle Zahl diese Bedingung erfüllt, ist klar, dass

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{R}}

Den Graphen zu bestimmen ist im Allgemeinen der schnellste Weg, um die Wertemenge einer Funktion zu ermitteln; dafür ist die Polynomdivision ein nützliches Werkzeug.

Durch Anwendung der Polynomdivision erhalten wir:

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

Auf diese Weise haben wir die ursprüngliche Funktion in zwei einfachere Teile zerlegt, die leichter zu behandeln sind. Diese bezeichnen wir als „ganzzahliger Teil“ und „gebrochener Teil“. Es ist viel einfacher, jede dieser Komponenten separat zu zeichnen, als die gesamte Funktion auf einmal zu skizzieren.

Analyse für: h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}}

Eine algebraische Analyse hilft dabei, den Definitionsbereich dieser Funktion schnell zu bestimmen. Es genügt zu beachten, dass sie genau dann wohldefiniert ist, wenn

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

Daher ist klar, dass Dom(h)=]-1,+\infty[.

Um die Wertemenge zu finden, ist es sinnvoll, den Graphen zu skizzieren. Um dies auf einfache Weise zu tun, verwenden wir eine Vorzeichentabelle. Die Funktion h(x) besteht aus zwei Teilen:

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

Der Zähler wird bei x=1 null; der Nenner wird bei x=-1 null und ist undefiniert für x\lt-1. Mit dieser Information erstellen wir die folgende Vorzeichentabelle:

Mit den in dieser Tabelle dargestellten Informationen ist es nun sehr einfach, den Graphen der Funktion zu zeichnen.

Und damit ist die Bestimmung von Definitionsmenge und Wertemenge jetzt eine triviale Angelegenheit:

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{R}

Vorgeschlagene Übung

Verwende die gerade besprochenen Werkzeuge, um die Definitionsmenge, Wertemenge und den Graphen der folgenden Funktion zu bestimmen:

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}