1. Algebra der Polynome: Definitionen

Um die Algebra der Polynome zu verstehen, müssen wir zunächst wissen, was Polynome sind. Polynome sind algebraische Funktionen. Wenn x eine reelle Variable ist, dann nennt man die Funktion P(x) ein Polynom, wenn sie sich in der Form schreiben lässt:

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

wobei n eine nichtnegative ganze Zahl ist und alle a_i, mit i\in\{1,2,3,\cdots,n\}, reelle Koeffizienten sind. Wenn es ein k gibt, so dass a_k\neq 0 und für alle i > k gilt a_i=0, dann nennt man diesen Wert von k den Grad des Polynoms. Mit anderen Worten, der Grad eines Polynoms ist die höchste Potenz, die mit einem von null verschiedenen Koeffizienten auftritt.

2. Arten von Polynomen

Polynome werden nach ihrem Grad klassifiziert; daher wird bei der Angabe eines Polynoms fast immer gesagt, dass es sich um ein Polynom vom Grad k handelt, wobei k die höchste Potenz von x ist, die mit einem von null verschiedenen Koeffizienten auftritt.

2.1. Die konstanten Polynome

Diese Familie umfasst alle Polynome vom Grad null sowie das Nullpolynom. Ein Polynom ist vom Grad null, wenn es in der Form P(x)=c, mit c\neq 0 geschrieben werden kann. Andererseits ist das Nullpolynom von der Form P(x) = 0, und für dieses ist kein Grad definiert.

3. Algebra der Polynome: Operationen

Polynome übernehmen alle ihre Eigenschaften aus der Algebra der reellen Zahlen. Besonders relevant sind die distributiven und assoziativen Eigenschaften.

3.1. Addition und Subtraktion

Wenn P und Q zwei Polynome vom Grad n bzw. m sind, mit

m=n+k und 0\leq k,

dann gilt:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

Das heißt, die Koeffizienten, die dieselben Potenzen von x begleiten, werden je nach Fall addiert oder subtrahiert.

BEISPIEL:
Wenn P(x) = 3+5x+2x^2 und Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5, dann gilt:

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. Multiplikation

Im gleichen Kontext wie bei der Addition und Subtraktion von Polynomen wird das Produkt von Polynomen wie folgt entwickelt:

Zuerst unterscheiden wir die Multiplikation mit einem Skalar. Wenn c \in \mathbb{R}, dann gilt:

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

Und dann haben wir die Multiplikation zweier Polynome:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \right) \\ \\ &=\displaystyle \sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

Das ist es, was wir mit dem Ausdruck „die Summe der Produkte von allen mit allen“ zusammenfassen würden.

BEISPIEL:
Wenn P(x) = 4x+ 2x^2-x^4 und Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3, dann gilt:

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. Faktorisierung und Division von Polynomen

Wenn wir zwei Polynome multiplizieren, gehen wir von zwei einfachen Polynomen zu einem komplexeren (höhergradigen) über. Bei der Faktorisierung eines Polynoms erfolgt der umgekehrte Prozess: Wir verwandeln ein komplexes Polynom in das Produkt von zwei oder mehr Polynomen niedrigeren Grades.

Um ein Polynom P(x) zu faktorisieren, muss man die Werte von x finden, die das Polynom null machen; wenn solche Werte existieren, ist das Polynom faktorisierbar. Über die Existenz zu sprechen, ist machbar – sie zu finden, ist jedoch eine andere Geschichte. Wir werden dieses Thema ausführlicher behandeln, wenn wir die Faktorisierung quadratischer und (2n)-quadratischer Polynome untersuchen.

4.1. Bemerkenswerte Produkte

Es gibt jedoch Fälle, in denen die Faktorisierung auf einfache Weise erfolgt,
wie bei den sogenannten bemerkenswerten Produkten. Einige dieser Ergebnisse sind die folgenden:

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4.2. Der Divisionsalgorithmus

So wie wir durch die Multiplikation ganzer Zahlen zusammengesetzte Zahlen erhalten und die Division über den Divisionsalgorithmus eine Faktorisierung erlaubt, wenn der Rest null ist, ist es ähnlich bei Polynomen. Den Divisionsalgorithmus „im Text“ zu erklären, kann etwas kompliziert sein – es ist viel einfacher zu verstehen, wenn man direkt sieht, wie er funktioniert und in welchen Fällen er zu einer Faktorisierung führt. Um das zu erreichen, betrachten wir einige Beispiele.

BEISPIEL: Berechne P(x):Q(x) für die folgenden Fälle:

1. P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, Q(x)=x-1 [LÖSUNG]
2. P(x)=x^4+2x^3-x+1, Q(x)=x^2-4 [LÖSUNG]
3. P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, Q(x)=x^2+x+1 [LÖSUNG]
4. P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, Q(x)=x^3-2x^2+1 [LÖSUNG]