مجالات النزاهة والأعداد الصحيحة

ملخص:
في هذه الحصة، يتم تقديم مفهوم مجال النزاهة، وشرح أهميته في دراسة الجبر العام، وإثبات بعض خصائصه الأساسية من خلال براهين رسمية.

أهداف التعلم:
عند إكمال هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:

1. فهم هدف دراسة الجبر العام.
2. فهم مفهوم مجال النزاهة.
3. شرح الجوانب الأساسية المشتركة بين مجالات النزاهة والأعداد الصحيحة.
4. إثبات خصائص مجالات النزاهة الأساسية من خلال براهين رسمية.

فهرس المحتويات
هدف الجبر العام والمعرفة المسبقة
من الأعداد الصحيحة إلى مجالات النزاهة
الجوانب الأساسية المشتركة بين مجالات النزاهة والأعداد الصحيحة
خصائص مجالات النزاهة والأعداد الصحيحة
تمارين

هدف الجبر العام والمعرفة المسبقة

الهدف الرئيسي من الجبر العام

هو دراسة جميع الأنظمة الرياضية الممكنة. في هذه الحصة، سندرس عدة أنظمة من هذا النوع، ومن بين أهمها الأعداد الطبيعية والصحيحة، ومن خلال الأخيرة سنصل إلى مجالات النزاهة.

\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}

من الأعداد الصحيحة إلى مجالات النزاهة

سنبدأ دراستنا بالأعداد الصحيحة،

والسبب في اتباع هذا النهج هو أنها تشترك في أكبر عدد من الخصائص مع معظم الأنظمة العددية التي سنراجعها في هذه الدراسة.

بدلاً de intentar definir qué son los números enteros, iniciaremos suponiendo que, sean lo que sea, satisfacen ciertas propiedades. Para esto se elige un conjunto de axiomas de modo tal que sea posible inferir todas las propiedades que intuitivamente asociamos a los enteros.

كل هذه الأمور تتم من خلال مسلمات بيانو للأعداد الطبيعية عند إدخال العمليات الأساسية للحساب. باتباع هذا النهج البديهي وتوسيع العمليات المختلفة على الأعداد الطبيعية والصحيحة، يتم الحصول على مجموعات عددية جديدة، مثل الأعداد النسبية، غير النسبية، الحقيقية، المركبة، الكواتيرنيونات، الأوكتونيونات، والعديد غيرها.

ثم، إذا نظرنا إلى الأعداد الصحيحة، سنرى أن لديها خصائص ستتكرر في جميع المجموعات العددية الأخرى، مثل وجود العنصر المحايد الضربي، العنصر المحايد الجمعي، وقوانين التوزيع. بالإشارة إلى هذه الخصائص، يمكننا وضع لغة تسمح لنا بالتحدث عن كل هذه المجموعات في وقت واحد. في هذا السياق، تظهر مصطلحات مثل:

• مجال النزاهة
• الحلقة
• المجموعة
• الفضاء الشعاعي

والعديد من المصطلحات الأخرى من هذا النوع… سنركز طاقتنا في البداية على دراسة مجالات النزاهة.

الجوانب الأساسية المشتركة بين مجالات النزاهة والأعداد الصحيحة

لشرح ما هو مجال النزاهة

سنستعين بالخصائص التي نفهمها جيدًا من الأعداد الصحيحة. في هذا السياق، إذا كان لدينا a، b، و c كأعداد صحيحة، فإنها تحقق القوانين التالية:

1. القوانين التبادلية:
   • a+b = b + a
   • ab = ba
2. القوانين الترابطية:
   • a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
   • (ab)c = abc = a(bc)
3. القوانين التوزيعية:
   • a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac

بالإضافة إلى ذلك، هناك بعض العناصر الخاصة المعروفة بالعناصر المحايدة.

• العنصر المحايد الجمعي: a+ c = a \leftrightarrow c=0
• العنصر المحايد الضربي: ac = a \leftrightarrow c=1

العنصر الذي يرمز إليه بـ 0 هو العنصر المحايد الجمعي، والعنصر الذي يرمز إليه بـ 1 هو العنصر المحايد الضربي.

كما أن الأعداد الصحيحة تمتلك مقلوبات جمعية. لكل عدد صحيح يوجد مقلوب جمعي بحيث عند جمعهما نحصل على العنصر المحايد الجمعي.

• المقلوب الجمعي: a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a

يُعرف المقلوب الجمعي بالإشارة السالبة “-” التي ترافقه.

وأخيرًا، هناك قاعدة التبسيط التي يتم التعبير عنها بالعلاقة:

(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)

هذه الخصائص التي استعرضناها تنطبق على العديد من المجموعات الأخرى مثل الأعداد الحقيقية، المركبة، كثيرات الحدود، وغيرها. وبالتالي، نطلق مصطلح مجال النزاهة على جميع المجموعات التي تحقق هذه الخصائص.

التعريف: مجال النزاهة هو أي مجموعة D مزودة بعمليتي الجمع والضرب بحيث:

• a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
• a,b\in D \longrightarrow ab \in D

وبالإضافة إلى ذلك، يتم تحقيق القوانين الترابطية، والتبادلية، والتوزيعية، كما يحتوي D على العنصر المحايد الجمعي والعنصر المحايد الضربي (وكلاهما فريد)، وأخيرًا، تتحقق قاعدة التبسيط.

مثال على مجال النزاهة

لننظر إلى المجموعة A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}.

هذه المجموعة، عند تزويدها بعمليات الجمع والضرب المعتادة، تُعد مجال نزاهة لأنها تحقق قوانين التبادل، الترابط، والتوزيع، وتحتوي على العنصر المحايد الجمعي والعنصر المحايد الضربي، وأيضًا تمتلك مقلوبًا جمعيًا.

• العنصر المحايد الجمعي: 0+0\sqrt{3}
• العنصر المحايد الضربي: 1+0\sqrt{3}
• المقلوب الجمعي: كل عنصر a+b\sqrt{3} له مقلوب جمعي -a-b\sqrt{3}

والأمر الأكثر أهمية هو أن هذه المجموعة A مغلقة تحت عمليتي الجمع والضرب، بمعنى أنه إذا أخذنا x,y\in A فإنه سيكون لدينا x+y\in A و xy\in A.
هذا من السهل التحقق منه: إذا كان a_1 + b_1\sqrt{3} و a_2 + b_2\sqrt{3} عنصرين في A، فإننا نحصل على:

\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}

خصائص مجالات النزاهة والأعداد الصحيحة

العنصر المحايد الجمعي في مجال النزاهة فريد من نوعه

يمكن إثبات ذلك من خلال البرهان بالخلف:

لنفرض أن هناك عنصرين محايدين جمعيين، وليكن 0 و 0^\prime عنصرين محايدين جمعيين. عندها سيكون لدينا:

\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{; فرضية}\\ (2) & a+0 = a & \text{; فرضية: $0$ هو العنصر المحايد الجمعي}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{; فرضية: $0^\prime$ هو العنصر المحايد الجمعي}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{; بتبديل $a=0^\prime$ في $(2)$}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{; بتبديل $b=0$ في $(3)$}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{; من $(4,5)$ وباستخدام تبادلية الجمع}\\ (7) & \bot &\text{; من $(1,6)$} \end{array}

من هذا الاستنتاج، نستنتج أنه:

\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.

ومن ثم، من خلال البرهان بالخلف، نحصل على:

\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.

أي أنه إذا وُجد عنصران محايدان جمعيان، فإنهما يكونان متطابقين، وبالتالي فإن العنصر المحايد الجمعي فريد.

العنصر المحايد الضربي أيضًا فريد

الإثبات مشابه تمامًا لما سبق.

إذا كان هناك عنصران محايدان ضربياً، وليكن 1 و 1^\prime، فإنه يمكن إجراء البرهان التالي:

\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{; فرضية}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{; فرضية: $1$ هو العنصر المحايد الضربي}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{; فرضية: $1^\prime$ هو العنصر المحايد الضربي}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{; بتبديل $a=1^\prime$ في $(2)$}\\ (5) & 1^\prime \cdot 1 = 1 & \text{; بتبديل $b=1$ في $(3)$}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{; من $(4,5)$ وباستخدام تبادلية الضرب}\\ (7) & \bot &\text{; من $(1,6)$} \end{array}

وبذلك نستنتج أن:

\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.

ثم، من خلال البرهان بالخلف، نحصل على:

\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.

أي أنه إذا وُجد عنصران محايدان ضربياً، فإنهما يكونان متطابقين، وبالتالي فإن العنصر المحايد الضربي فريد.

تنطبق قاعدة التبسيط على عمليات الجمع

هذا هو ما نقوم به عندما

نحذف الحدود المتشابهة في معادلة:

a+b = a+c \longleftrightarrow b = c

ليس من الصعب إثبات هذه النتيجة، حيث يكفي اتباع المنطق التالي:

\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{; فرضية} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{; من$(1)$، بإضافة $-a$ إلى الطرفين} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{; من$(2)$، باستخدام التبادلية والترابطية} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{; من$(3)$، باستخدام المقلوب الجمعي} \\ (5) & b = c & \text{; من$(4)$، باستخدام العنصر المحايد الجمعي} \\ \end{array}

وبما أن هذا البرهان يمكن عكسه بتطبيق نفس الخطوات، فإنه ينتج لدينا:

a+b=a+c \dashv \vdash b=c

وهذا مكافئ للقول:

\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c

العنصر المحايد الجمعي هو أيضًا عنصر ممتص في الضرب

ببساطة، هذا يعني

أنه لكل a في مجال النزاهة، يتحقق أن:

a\cdot 0 = 0

ويمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال اتباع التسلسل المنطقي التالي:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{; باستخدام قانون التوزيع}\\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{; من$(1)$، باستخدام المقلوب الجمعي}\\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{; من$(2)$، باستخدام قانون التوزيع}\\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{; من$(3)$، باستخدام قاعدة التبسيط في الجمع}\\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{; من$(4)$، باستخدام المقلوب الجمعي}\\ \end{array}

قاعدة الإشارات:

حاصل ضرب كميتين لهما نفس الإشارة

دائمًا يكون موجبًا؛ في حين أن حاصل ضرب كميتين بإشارتين متعاكستين يكون دائمًا سالبًا. يمكن إثبات هذه الخاصية بسهولة أيضًا:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{; العنصر المحايد الجمعي}\\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{; من $(1)$ والمقلوب الجمعي}\\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{; من $(2)$ والمقلوب الجمعي}\\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{; من $(3)$ والمقلوب الجمعي}\\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{; من $(4)$ والعنصر الممتص في الضرب}\\ \end{array}

وبذلك نحصل على: ab = (-a)(-b)

وبالنسبة للعلامات المتعاكسة، يكون الاستنتاج مماثلاً:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{; العنصر المحايد الجمعي} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{; من $(1)$ والمقلوب الجمعي} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{; من $(2)$ والتوزيعية} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{; من $(3)$ والمقلوب الجمعي} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{; من $(4)$ والعنصر الممتص في الضرب} \\ \end{array}

وبذلك نحصل على: a(-b) = -a(b)

إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا، فإن واحدًا منهما على الأقل يساوي صفرًا

خاصية أخرى تُستخدم كثيرًا

هي التالية:

ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)

ويمكن إثباتها بسهولة أيضًا:

\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{; العنصر الممتص في الضرب} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{; TD$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{; CPI$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{; RTD$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{; مماثلة $(4)$} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; $\wedge$-int$(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; TD(6)} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; CPI(7)} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; DM(8)} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{; العنصر الممتص في الضرب} \\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{; TD(10)} \\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{; $\rightarrow$-Def(11)} \\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{; DN(12)} \\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; TD(13)} \\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; من$(9,14)$} \end{array}

تمارين

لتكن a، b و c عناصر تنتمي إلى مجال نزاهة D. أثبت أن الخصائص التالية تتحقق:

1. (-a)=(-1)a
   
   [الحل]
   
2. -(a+b)=(-a) + (-b)
   
   [الحل]
   
3. a(-b)=-(ab)
   
   [الحل]
   
4. -(-a)=a
   
   [الحل]
   
5. a(b-c) = ab - ac [مقترح]
6. (a-b)+(b-c) = a-c [مقترح]
7. لكل a\in D يوجد عدد وحيد 1 بحيث
   a\cdot 1 = a
   
   [الحل]
   
8. xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) [مقترح]