1. مقدمة

يبدأ دراسة الدوال الجبرية بإدخال المتغيرات: الرموز التي تمثل المكان الذي يمكن أن يوضع فيه رقم. تقليديًا، تُستخدم الحروف x, y, z لتمثيل الأعداد الحقيقية، وفي سياقات أخرى يتم تفضيل z لتمثيل الأعداد المركبة. كما أنه من المعتاد استخدام الأرقام الفرعية عندما تكون المتغيرات كثيرة. على هذا النحو، x_1, x_2, \cdots , x_n هي أيضًا أمثلة على المتغيرات.

الدوال الجبرية أساسية في مختلف مجالات الرياضيات وتطبيقاتها. تُعرف هذه الدوال من خلال التعبيرات الجبرية التي تتضمن العمليات الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة والأسس والجذور للمتغيرات. فهم الدوال الجبرية ضروري لدراسة العديد من فروع الرياضيات البحتة والتطبيقية، بما في ذلك الجبر والتفاضل والهندسة ونظرية الأعداد. بالإضافة إلى ذلك، لها أهمية كبيرة في الفيزياء والهندسة والاقتصاد والعلوم الاجتماعية، حيث تمكن من نمذجة وتحليل الظواهر الحقيقية بدقة وكفاءة.

في المجال التعليمي، تُعد الدوال الجبرية أساسًا متينًا لتطوير التفكير المجرد وحل المشكلات. من خلال دراسة هذه الدوال، يتعلم الطلاب كيفية التعامل مع التعبيرات الجبرية وفهم العلاقات بين المتغيرات، وهو أمر أساسي للتقدم في الرياضيات الأكثر تعقيدًا.

في الحياة اليومية، تُستخدم الدوال الجبرية في مجموعة متنوعة من السياقات العملية. على سبيل المثال، تُستخدم في الإدارة المالية لحساب الفوائد والاستثمارات، وفي علم الحاسوب لتطوير الخوارزميات، وفي الهندسة لتصميم الهياكل والأنظمة. كما تُعد الدوال الجبرية أساسية في تحليل البيانات والنمذجة الإحصائية، حيث تساعد في تفسير وتوقع السلوكيات بناءً على البيانات الملاحظة.

باختصار، دراسة الدوال الجبرية ليست فقط حجر الزاوية في الرياضيات، ولكنها أيضًا لها مجموعة واسعة من التطبيقات العملية التي تؤكد على أهميتها وفائدتها في العالم الحديث. مع فهم قوي لهذه الدوال، يمكن معالجة المشكلات المعقدة وتطوير حلول مبتكرة في مختلف المجالات.

2. ما هي الدوال الجبرية؟

الدوال الجبرية هي نوع خاص من الدوال. الدالة هي قانون مراسلة بين مجموعتين نعبّر عنه من خلال الكتابة:

حيث A هو مجموعة المدخلات و B هو مجموعة المخرجات.

كل دالة f لها، بالإضافة إلى ذلك، مجال (Dom(f)) و مدى (Rec(f)). المجال هو مجموعة كل القيم المدخلة التي تنتج نتيجة صالحة، والمدى هو مجموعة كل المخرجات الممكنة للدالة. المدى يُسمى أيضًا صورة، والمجال يُسمى أصل الصورة. عند تعريف دالة، يكون من المعتاد أحيانًا الكتابة بأي من الطريقتين التاليتين:

وهكذا، الدوال الجبرية هي تلك التي تُكتب من حيث العمليات الجبرية لمتغيراتها، مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة والأسس والجذور الرئيسية. يُقال أيضًا إن الدالة تكون ذات متغير حقيقي إذا كان من المتوقع استبدال متغيراتها بأعداد حقيقية، وذات متغير مركب إذا كان من المتوقع استبدالها بأعداد مركبة، وهكذا مع أي مجموعة عددية أخرى. كما يمكن الحديث عن دوال ذات متغير واحد أو اثنين أو ثلاثة أو عدة متغيرات، حسبما إذا كانت تحتوي على متغير واحد أو اثنين أو ثلاثة أو عدة متغيرات.

2.1. أمثلة على الدوال الجبرية

1. لنفكر في الدالة التالية
   \begin{matrix} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x) =x^3 + 5x + \displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}} \\ \end{matrix}

   هذه دالة جبرية ذات متغير حقيقي واحد. يمكننا أن نرى مباشرة أن

   Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; x\gt 0\} = ]0, +\infty[

   هذا بسبب عدم وجود قسمة على الصفر ولأن الجذر الرئيسي يعرف فقط للأعداد الحقيقية الموجبة.

2. لنراجع الآن الدالة التالية
   \begin{matrix} f : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \longmapsto & f(x,y) =\displaystyle \frac{2xy + \frac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}} \\ \end{matrix}

   هذه دالة ذات متغيرين حقيقيين تعطي ناتجًا حقيقيًا. تُعرف هذه أيضًا بـ مجال عددي. هذا النوع من الدوال يتجاوز نطاق هذه الحصة، لكنه مفيد جدًا في الفيزياء لوصف كميات مثل درجة الحرارة أو توزيعات الكثافة. يمكن أيضًا رؤية مجال هذه الدالة “بالعين المجردة”.

   Dom(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x \neq 0 \wedge y\neq 1 \}

2.2. تعليقات حول الرسم البياني والمدى

تحديد المدى عادةً ما يكون معقدًا. سنرى لاحقًا تقنيات ستسمح لنا بفعل ذلك بسهولة، حتى في الحالات التي تبدو مستحيلة من الناحية الجبرية. ومع ذلك، حتى مع هذه الطرق، ستظل هناك مشاكل لأن بعض الأحيان يتطلب تقنيات تتجاوز نطاق هذه الحصة، مثل حساب النقاط الحرجة لتحديد القيم القصوى والدنيا في التفاضل والتكامل. ومع ذلك، حتى بدون حساب التفاضل، هناك الكثير مما يمكن القيام به، وسنرى هذه الأشياء في الوقت المناسب.

إذا كنت لا تزال مهتمًا بمعرفة المدى والرسم البياني لهذه الدوال، يمكنك دائمًا الذهاب إلى Wolfram Alpha. ادخل إلى https://www.wolframalpha.com/ وحاول نسخ ولصق هذا:

x^3 + 5x + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

لتكوين فكرة عن المثال الأول. بالنسبة للمثال الثاني، انسخ والصق هذا:

\dfrac{2xy + \dfrac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}}

3. أنواع أخرى من الدوال

الدوال التي ندرسها في هذه الحصة يمكن تقسيمها إلى نوعين: الدوال الجبرية والدوال المتسامية. الدوال الجبرية، كما رأينا، هي تلك التي تُكتب من خلال العمليات الأساسية، بينما الدوال المتسامية لا يمكن كتابتها بهذه الطريقة أو تتطلب تعبيرات مكونة من عمليات لا نهائية. يمكن أيضًا تقسيم الدوال الجبرية إلى نوعين: الدوال كثيرة الحدود وغير كثيرة الحدود. الدالة كثيرة الحدود هي أي دالة يمكن كتابتها كمجموع أو فرق من القوى. شيء من هذا القبيل:

أي دالة ليست بهذا الشكل هي غير كثيرة الحدود. من بين الدوال غير كثيرة الحدود، تبرز الدوال النسبية، وهي تلك التي يمكن كتابتها كنسبة بين دالتين كثيرتي الحدود.