صياغة تحويلات جاليليو

تقوم فيزياء نيوتن على مبدأ النسبية الذي يتم نمذجته من خلال تحويلات جاليليو، حيث يتم تأسيس الوقت كإحداثي عالمي لجميع المراقبين القصوريين؛ أي: t=t^\prime. تحت هذا البيان، تأخذ التحويل الخطي الذي يربط الملاحظات من إطارين مرجعيين قصوريين S و S^\prime المراجعة في الصف حول مبدأ النسبية الخاصة شكل التحويل الخطي:

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array} [1]

يأخذ الشكل التالي عندما تكون الإطارات القصورية S و S^\prime في تكوين قياسي و S^\prime يتحرك بسرعة v_{ss^\prime_x}\hat{x} نسبةً إلى S

\begin{array}{rlr} {}t^\prime &= t \\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x}t \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array} [2]

التحويل العكسي

من نوع من التماثل الجبري، يمكننا كتابة التحويل العكسي:

\begin{array}{rl} t &= t^\prime \\ x &= x^\prime + v_{ss^\prime_x}t \\ y &= y^\prime \\ z &= z^\prime \end{array} [3]

الزمن المطلق ومجموع السرعات

من المعادلة الأولى لتحويلات جاليليو (إما [2] أو [3])، يتضح أن الإحداثي الزمني لحدث ما لا يعتمد على الإطار الذي يتم ملاحظته منه، بينما يسمح الثاني بالحصول على ما يُفهم عادةً بـ “الحس السليم” المرتبط بمجموع السرعات. إذا تحركت جسيمة بسرعة ثابتة v_{ss^\prime_x} على طول محور \hat{x} لـ S, فإن سرعتها في S^\prime تُحدد بواسطة

\displaystyle v^\prime_x = \frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{dx^\prime}{dt} = \frac{d}{dt}\left(x - v_{ss^\prime_x} t \right) = v_x - v_{ss^\prime_x}

الاشتقاق في هذه العبارة الأخيرة يظهر أن تسارع أي جسيم هو نفسه في S وفي S^\prime، أي: dv^\prime_x/dt^\prime = dv_x/dt.

هندسة جاليليو للفضاء والزمان

إذا اعتبرنا حدثين A و B لهما إحداثيات (t_A,x_A,y_A,z_A) و (t_B,x_B,y_B,z_B), على التوالي. من السهل رؤية أن الكميات \Delta t = t_B - t_A و \Delta r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 هي منفصلة غير قابلة للتغيير تحت تحويلات جاليليو، مما يقودنا إلى اعتبار الفضاء والزمان ككيانات منفصلة. من ناحية أخرى، \Delta r^2 يشير إلى أن هذه هي خاصية هندسية للفضاء نفسه. نحن نتعرف على \Delta r^2 كمربع المسافة بين الأحداث في الفضاء الإقليدي. هذا يحدد هندسة الفضاء والزمان في سياق ميكانيكا نيوتن.

نسبية جاليليو والقوانين الفيزيائية

التطبيق على ديناميكيات نيوتن

في القسم السابق، رأينا أنه في سياق فيزياء نيوتن، سيلاحظ أي إطاران قصوريان مختلفان دائمًا نفس التسارع. هذا، بالإضافة إلى القانون الثاني لنيوتن، يعني أن جميع الإطارات القصورية ستلاحظ دائمًا نفس الديناميكيات. أي:

\displaystyle F_x = m\frac{dv_x}{dt}= m\frac{dv^\prime_x}{dt^\prime} = F^\prime_x.

تخبرنا هذه العبارة الأخيرة أن الفيزياء لا تتغير عند تنفيذ تحويلات جاليليو، وهو ما يعادل القول بأن: الفيزياء هي نفسها لجميع المراقبين القصوريين.

التطبيق على انتشار الموجات

بينما يُتوقع استمرار الفيزياء في مواجهة التغييرات في المراقبين القصوريين، أولاً لأنه ما نلاحظه عند التحرك، وثانيًا لأنه ما تم الحصول عليه من خلال الحسابات السابقة، ليس هذا هو الحال دائمًا. أبرز حالة لظاهرة لا تحتفظ تحت تحويلات جاليليو هي انتشار الموجات؛ عمومًا، المعادلة التي تنمذج انتشار الموجة \psi في الفضاء والزمان هي في الشكل

\displaystyle \nabla^2 \psi = \frac{1}{v_0^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} [4]

حيث v_0 هي سرعة انتشار الموجة.

ما تأثير تحويلات جاليليو على انتشار الموجة؟

لهذا، هناك إجابة قصيرة وأخرى طويلة. الإجابة القصيرة هي أن “حتى عند ملاحظة نفس الظاهرة، سيشاهد المراقبون القصوريون المختلفون ‘فيزياء مختلفة'”. الإجابة الطويلة تتضمن فحص كيفية تغير معادلة انتشار الموجة عند تطبيق التحويل الجاليلي؛ للقيام بذلك، نأخذ أولاً المعادلة [4] ونوسعها على كل من إحداثياتها للحصول على:

\displaystyle \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v_0^2} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2}. [5]

مع هذه المعادلة في الاعتبار، يجب علينا الآن استخدام المعادلات من [3] لإعادة التعبير عن المشتقات في الإطار القصوري الآخر.

تحويل المشتقات الأولى

باتباع التعبيرات من [3] واشتقاق كل متغير بالنسبة للمتغيرات المعطاة، نحصل على:

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial y}= \frac{\partial z^\prime}{\partial z}= \frac{\partial t^\prime}{\partial t}= 1

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial t} = - v_{x_0}

بينما يتم إلغاء جميع الآخرين:

\displaystyle \frac{\partial t^\prime}{\partial x} = \frac{\partial t^\prime}{\partial y} = \frac{\partial t^\prime}{\partial z} = \frac{\partial x^\prime}{\partial y} = \frac{\partial x^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial t} = \frac{\partial z^\prime}{\partial x} = \frac{\partial z^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial t} = 0

مع هذا في الاعتبار، يمكننا الآن حساب مشتقات \psi من خلال قاعدة السلسلة:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial x}}_{=1} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime} \underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime} \underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial x}}_{=0} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}.

وبالمثل للمتغيرات المكانية الأخرى:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}.

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}.

ومع ذلك، ستظهر بعض الاختلافات في المشتقة الزمنية:

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} &= \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}\underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial t}}_{=-v_{x_0}} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}\underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}\underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}\underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial t}}_{=1}\\ &=\displaystyle -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}, \end{array}

تحويل المشتقات الثانية

بالنسبة للجزء المكاني، يمكننا الاستمرار دون صعوبات كبيرة، والنتائج هي:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2}. [6]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} [7]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} [8]

لكن الجزء الزمني، كما كنا نتوقع بالفعل من المشتقات الأولى، يظهر اختلافات كبيرة:

\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &=\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\left( -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ & \displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) \end{array}

\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2}. [9]

تطبيق تحويلات جاليليو على انتشار الموجات

وبالتالي، يمكن إجراء تحويل جاليليو على معادلة انتشار الموجة من خلال استبدال المعادلات [6،7،8] و [9] في [5]، مما ينتج عنه:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} = \frac{1}{v_0^2} \left(\color{red}{ v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2} \right). [10]

يُلاحظ أن شكل انتشار الموجة لا يحتفظ به تحت تحويلات جاليليو بسبب ظهور الشروط الإضافية المحددة باللون الأحمر. على الرغم من أن هذا لا يكون له عواقب كبيرة في الوقت الحالي، إلا أننا سنرى في الدروس المستقبلية أن هذه هي بالضبط النقطة التي “تكسر”، إذا جاز التعبير، مع الفيزياء الكلاسيكية، مما يفسح المجال للنسبية الخاصة.