على الرغم من أن العمليات مع الأعداد الطبيعية معروفة، إلا أنه من الضروري تلخيص هذه المعرفة باستخدام “أساليب رياضية أكثر”. لهذا السبب، سنقوم بمراجعة عمليات الجمع والضرب والتربيع للأعداد الطبيعية وخصائصها.

أصل العمليات الأساسية للأعداد الطبيعية

عملية الجمع

نراجع أساسيات عملية الجمع في الصف الأعداد الطبيعية ومسلمات بيانو، لأن خلف كل عدد طبيعي يوجد عدد طبيعي آخر كالتالي:

S(n) = n+1

كما قلنا أن 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots وهكذا، فيمكننا تفسير الجمع كتطبيق متتالي لعملية الخلافة.

n+1 =S(n),

n+2 =S(S(n)),

n+3 =S(S(S(n))),

\vdots

وبشكل عام:

n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;مرات} n)\cdots))

خصائص الجمع

إذا كان a,b,c\in\mathbb{N}, فيمكننا استخلاص خصائص الجمع المعروفة لدينا من ذلك:

يمكن إثبات كل هذه الخصائص بالاستقراء ولكننا سنتجاوز ذلك. ومع ذلك، أشجعك على محاولة القيام بذلك كتمرين لتطبيق تقنية الاستقراء.

عملية الضرب

بشكل مماثل، يتم تعريف ضرب الأعداد الطبيعية كتطبيق متتالي للجمع. لذا نحصل على

n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;مرات}

خصائص الضرب

وبطريقة مماثلةيمكن استخلاص خصائصه

وبالإضافة إلى ذلك، من تعريف الضرب ينتج أن “1” للأعداد الطبيعية يكتسب خاصية تحويله إلى وحدة:

الجمع والضرب المدمجين

عندما تُدمج عمليات الجمع والضرب، نحصل على خاصية التوزيع للجمع بالنسبة للضرب

الترتيب المستحث بواسطة عمليات الأعداد الطبيعية

من خلال عمليات الجمع والضرب التي قمنا بمراجعتها، يتم تحديد علاقة ترتيب في الأعداد الطبيعية وفقًا للتعريفات التالية:

خصائص الترتيب في الأعداد الطبيعية

قانون التريخوتومي

ومن هذا نستنتج أنه يمكن أن يحدث واحدة واحدة فقط من الحالات الثلاث التالية:

1. a\lt b
2. a = b
3. a\gt b

فمثلًا، إذا كان a ليس أقل من b، فإنه يجب أن يكون أحد الأمرين: إما a=b أو a\gt b، أي أكبر من أو يساوي، وسيُكتب: a\geq b. وبالمثل يُكتب a\leq b. عندما يكون أصغر من أو يساوي.

الخاصية الانتقالية

إذا كان a,b و c أعدادًا طبيعية أيًا كانت، فإنه يتحقق ما يلي:

[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)

وبالمثل:

[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)

خاصية الاحتفاظ بالترتيب

توجد خاصية الاحتفاظ بالترتيب سواء للجمع أو الضرب، وهي كالتالي:

العمليات العكسية: الطرح والقسمة في الأعداد الطبيعية

طرح الأعداد الطبيعية

إذا كان a,b,c\in\mathbb{N}, فنقول أن الفرق بين a و b (بهذا الترتيب)، والمكتوب a-b، يُعرّف من خلال العلاقة

a-b=c \leftrightarrow a= b+c

كما نرى، فإن هذه العلاقة صحيحة فقط إذا كان a\gt b، لأنه لا يوجد c\in \mathbb{N} يمكن أن يلبي هذه العلاقة إذا كان a\leq b.

من خلال تعريف الطرح، لدينا القاعدة المعروفة بأن “ما يُضاف إلى جانب في المعادلة يمكن أن يُنقل إلى الجانب الآخر مطروحًا، والعكس صحيح”.

قسمة الأعداد الطبيعية

إذا كان a,b,c\in\mathbb{N}, فنقول أن القسمة بين a و b (بهذا الترتيب)، والمكتوبة a/b، تُعرّف من خلال العلاقة

a/b=c \leftrightarrow a= bc

من تعريف القسمة، لدينا القاعدة التي تقول “ما يُضرب في جانب من المعادلة يمكن نقله إلى الجانب الآخر مقسومًا، والعكس صحيح”.

كما هو الحال بالنسبة للطرح حيث يجب أن يكون a - b موجودًا إذا كان a\gt b، فإنه لابد للقسمة a/b أن توجد إذا كان a “قابلاً للقسمة” على b. وهذا ما نعبر عنه بالكتابة

a قابل للقسمة على b \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)

قوى الأعداد الطبيعية

يمكن تعريف القوى باستخدام الأعداد الطبيعية. رفع عدد طبيعي b, نسميه الأساس، إلى عدد طبيعي آخر n, نسميه الأُس، يعني ضرب b n مرات. بحيث

b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;مرات}

إذا كان a,b,n,m\in\mathbb{N}, فمن الممكن إثبات الخصائص التالية بالاستقراء (المزدوج):

1. \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
2. \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, بشرط أن n\lt m
3. \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
4. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
5. \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}

مسائل مقترحة ومحلولة

1. يمكن إثبات جميع الخصائص التي عرضناها هنا باستخدام الاستقراء الرياضي (البسيط أو المزدوج)، ولكن لم أقم بتطويرها لأن البرهان الناتج طويل بشكل غير ضروري لهذه النتائج البديهية. ومع ذلك، يمكن لمن يتابع هذه الدروس محاولة القيام بهذه البراهين كتمرين. [مقترح فقط]
2. هل b^{n^m} (التي تُعرف بـ b^{(n^m)}) مماثلة لـ (b^n)^m؟ [الحل]
3. استخدم الخصائص التي رأيناها للتحقق من المساواة:
   a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [الحل]
   b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,؛ إذا كان c\gt d [الحل]
   c) (a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,؛ إذا كان a\gt b وc\gt d [الحل] 
4. أثبت أن:
   a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [الحل]
   b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2؛ إذا كان c\gt d [الحل]
   c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2؛ إذا كان c\gt d [الحل]
   d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [الحل]
   e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3؛ إذا كان c\gt d[الحل]
5. أثبت باستخدام الاستقراء الكامل الخصائص التالية:
   a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [الحل]
   b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [الحل]
   c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [الحل]