أهداف التعلم:
بنهاية هذه الحصة، سيكون الطلاب قادرين على:

1. تذكر التعريفات الأساسية للموضع، السرعة والتسارع في الحركة.
2. تحليل العلاقات بين التسارع، السرعة والموضع.
3. تطبيق المشتقات والتكاملات لحساب السرعة والموضع من التسارع، والعكس بالعكس.
4. فهم الفرق بين السرعة اللحظية والمتوسطة، وبين التسارع اللحظي والمتوسط.

المقدمة

من خلال التسارع، يمكن حساب السرعة والموضع عبر التكامل بالنسبة للزمن، ومن خلال الموضع، يمكننا حساب السرعة والتسارع عبر التفاضل بالنسبة للزمن. هذه الكلمات تلخص ما سنستكشفه في الحركة، وأحد أهدافنا الرئيسية هو فهم معاني هذه المصطلحات. يمثل الحركة شكلاً من أشكال التغير، وكل شيء في الطبيعة يخضع للتغيير. لذلك، دراسة التغيير وتنوعاته هو أحد الركائز الأساسية في الفيزياء.

هناك العديد من المتغيرات المعرضة للتغيير: الجديد يصبح قديماً، يمكن للمرء أن يغير من مهنة إلى أخرى، من الصحة إلى المرض والعكس بالعكس، ومن النهار إلى الليل، وغيرها. كل هذه أمثلة على التغيير، لكن عند دراسة الحركة، سنركز على نوع واحد على وجه الخصوص: تغيير الموضع أو الحركة. في دراسة الحركة، يمكننا أن نرى نهجين متكاملين: أحدهما يعتمد على الأسباب التي تسببه والآخر على الطريقة التي تتكشف بها، مما يؤدي إلى الديناميكا والحركة، واللتين معاً تشكلان الميكانيكا.

في الفيزياء، نقوم بنمذجة الفضاء الفيزيائي كفضاء متجهي لتسهيل التمثيل الرياضي لمفاهيم مثل الموضع، السرعة والتسارع. نستخدم عادةً الفضاء ثلاثي الأبعاد \mathbb{R}^3 لهذا الغرض، رغم أنه نظرياً، يمكن أن تكون الفضاءات ذات الأبعاد المختلفة مناسبة حسب السياق.

الموضع، الفضاء والمراقبون

لننظر إلى دالة

\begin{array}{rll} \vec{r}:\mathbb{R}[T]&\longrightarrow&\mathbb{R}^n[L] \\ t &\longmapsto&\vec{r}(t) \end{array}

هذه دالة تعين موضعًا \vec{r}(t) لكل t\in\mathbb{R}، وبالتالي نقول إنها دالة الموضع (أو ببساطة الموضع). المتغير المستقل t يسمى “الزمن”، والبارامتر n يقابل “البعد” للفضاء. الرموز [T] و [L] تشير إلى الأبعاد الفيزيائية للزمن والطول، وعادة ما تقاس بـ “الثواني” و “الأمتار” على التوالي.

الموضع، مثل أي كمية فيزيائية، يتم قياسه بواسطة مراقب. في الوصف الذي قدمته عن الموضع، افترضت ضمنياً أن المراقب لديه إحداثيات المتجه الصفري، \vec{0}. إذا كان لدى المراقب \mathcal{O} إحداثيات المتجه \vec{r} وكان للجسم النقطة إحداثيات \vec{r}^\prime, فإن الموضع النسبي بالنسبة للمراقب سيكون:

\vec{r}_\mathcal{O} = \vec{r} - \vec{r}^\prime

الفضاء هو مجموعة جميع المواضع الممكنة، وهو أيضاً مجموعة جميع المواضع الممكنة بالنسبة لأي مراقب. الموضع هو دالة للزمن ويستخدم لتمثيل مكان الجسم المثالي المسمى “الجسم النقطة” في كل لحظة t. الجسم النقطة هو مثال مثالي، هو ما يتبقى من الجسم الحقيقي عندما نتخلص من جميع خصائصه، بما في ذلك الحجم والشكل، مع الاحتفاظ فقط بـ “المكان الذي يشغله في الفضاء”.

الموضع عادةً ما يكون متجهًا. يتكون المتجه من عنصرين: المقدار والاتجاه. مقدار الموضع النسبي بالنسبة للمراقب هو المسافة إلى المراقب، ويعطى بـ dist_\mathcal{O}(t)=\|\vec{r}_\mathcal{O}(t)\|.

من هذه النقطة، يوصى بشدة بإتقان محتوى دورة التفاضل والتكامل التفاضل و التكامل.

السرعة والسرعة الخطية

إذا كان الموضع قابلاً للتفاضل بالنسبة للزمن، فإنه يمكن تعريف السرعة النسبية بالنسبة للمراقب \mathcal{O} \vec{v}_\mathcal{O}(t), على النحو التالي:

\vec{v}_\mathcal{O}(t) =\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\vec{r}_\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{r}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}_\mathcal{O}(t)}{dt}

بعبارات بسيطة: السرعة هي المشتقة الزمنية للموضع وتخبرنا كيف يتغير الموضع في كل لحظة t.

هناك نوعان من السرعات: السرعة اللحظية والسرعة المتوسطة. السرعة اللحظية هي التي قدمناها للتو، في حين يتم حساب السرعة المتوسطة من خلال إهمال حساب النهاية. يُعرف متوسط السرعة على الفترة الزمنية ذات الطول \Delta t, بـ \left< \vec{v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right>, ويتم تعريفه على النحو التالي:

\left< \vec{v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right> = \displaystyle \frac{\vec{r}_\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{r}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t}

حيث أن \overline{t} هو أي لحظة ضمن الفاصل الزمني [t,t+\Delta t].

من السرعة (سواء كانت لحظية أو متوسطة) يمكن تعريف السرعة الخطية باعتبارها المقدار المقابل لها. تُعرف السرعة الخطية النسبية بالنسبة للمراقب \mathcal{O} بـ v_\mathcal{O}(t)=\|\vec{v}_\mathcal{O}(t)\|, ومتوسط السرعة الخطية بـ \left< {v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right> = \|\left< \vec{v}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right>\|.

يتم قياس السرعة والسرعة الخطية بوحدات الطول على وحدات الزمن، [L/T]، وعادة ما تُعبر عن هذه الوحدة بـ “متر في الثانية”.

التسارع

وبالمثل، مثل السرعة، إذا كان التسارع قابلاً للتفاضل بالنسبة للزمن، فإنه يمكن تعريف التسارع النسبي بالنسبة للمراقب \mathcal{O} \vec{a}_\mathcal{O}(t), كما يلي:

\vec{a}_\mathcal{O}(t)= \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\vec{v}_\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{v}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}_\mathcal{O}(t)}{dt}

التسارع هو المشتقة الزمنية للسرعة وبالتالي يخبرنا كيف يتغير السرعة مع مرور الزمن.

بالمثل مع السرعة الخطية، هناك تسارع لحظي وتسارع متوسط. التسارع اللحظي هو الذي قمنا بمراجعته للتو، والتسارع المتوسط يتم حسابه من خلال إهمال حساب النهاية. يُعرف متوسط التسارع على الفترة الزمنية ذات الطول \Delta t, بـ \left<\vec{a}_{\mathcal{O},\Delta t}\right>, ويتم تعريفه على النحو التالي:

\left< \vec{a}_{\mathcal{O},\Delta t}(\overline{t}) \right> = \displaystyle \frac{\vec{v}_\mathcal{O}(t+\Delta t) - \vec{v}_\mathcal{O}(t)}{\Delta t}

يتم قياس التسارع بوحدات الطول على مربع وحدات الزمن، [L/T^2]، وعادة ما تُعبر عن هذه الوحدة بـ “متر في الثانية المربعة”.

معادلات الحركة

لنفترض أننا لدينا جسم نقطي يتحرك بالنسبة للمراقب \mathcal{O} بتسارع ثابت \vec{a}_\mathcal{O}(t) = \vec{a}_0. إذا كان من الممكن اشتقاق السرعة والتسارع من الموضع، فإنه يمكن حساب السرعة والموضع عن طريق تكامل التسارع. تُعرف النتائج التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة بمعادلات الحركة.

بالتكامل لـ \vec{a}_\mathcal{O}(t) = \vec{a}_0 نحصل على:

\vec{v}_\mathcal{O}(t) = \displaystyle \int \vec{a}_\mathcal{O}(t) dt = \int \vec{a}_0 dt = \vec{a}_0 t + \vec{v}_0

وبالتكامل مرة أخرى نحصل على

\vec{r}_\mathcal{O}(t) = \displaystyle \int \vec{v}_\mathcal{O}(t) dt = \int \vec{a}_0t + \vec{v}_0 dt = \displaystyle \frac{1}{2}\vec{a}_0 t^2 + \vec{v}_0t+\vec{r}_0

هنا، الثوابت \vec{v}_0 و \vec{r}_0 هي ثوابت التكامل وتمثل السرعة والموضع الابتدائيين للجسم النقطة بالنسبة للمراقب \mathcal{O}. وباختصار، معادلات الحركة هي:

\begin{array}{rl} \vec{a}_\mathcal{O}(t) =& \vec{a}_0 \\ \vec{v}_\mathcal{O}(t) =& \vec{a}_0t+\vec{v}_0 \\ \vec{r}_\mathcal{O}(t) =& \displaystyle \frac{1}{2}\vec{a}_0t^2 + \vec{v}_0t + \vec{r}_0 \end{array}

من خلال هذه المعادلات، يمكن وصف حركة أي جسم نقطي يتحرك بتسارع ثابت بشكل كامل. وهذا يوضح أنه من خلال تكامل التسارع يمكن حساب السرعة والموضع، ومن خلال اشتقاق الموضع يمكن حساب السرعة والتسارع.

لاحظ أن هذه المعادلات هي معادلات متجهية، وبالتالي يمكن فصلها إلى مكوناتها. إذا كنا نمثل حركة في فضاء ثلاثي الأبعاد، فإننا سنحصل على كل مكون مفصول بالطريقة التالية:

\begin{array}{rl} \vec{a}_\mathcal{O}(t) &= (a_x(t), a_y(t), a_z(t))\\ \vec{v}_\mathcal{O}(t) &= (v_x(t), v_y(t), v_z(t))\\ \vec{r}_\mathcal{O}(t) &= (x(t), y(t), z(t))\\ \vec{a}_0 &= (a_{0x}, a_{0y}, a_{0z})\\ \vec{v}_0 &= (v_{0x}, v_{0y}, v_{0z})\\ \vec{r}_0 &= (x_{0}, y_{0}, z_{0})\\ \end{array}

وبالتالي، يتم إنشاء مجموعة من 9 معادلات، واحدة لكل محور إحداثي. على سبيل المثال، بالنسبة للمحور \hat{x}، سيكون لدينا:

\begin{array}{rl} a_x(t) & = a_{0x}\\ v_x(t) & = a_{0x}t + v_{0x} \\ x(t) & = \displaystyle \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

عادة، يتم حجز الإحداثي \hat{z} للارتفاع، لذلك يُفترض أن a_{0z}=-g \approx -9.81[m/s^2]; أي أن التسارع في هذا المحور مرتبط بالتسارع الناتج عن جاذبية الأرض. يتم تضمين ذلك في المعادلات لنمذجة الظواهر مثل السقوط الحر أو إطلاق المقذوفات.

الخاتمة

في هذه الرحلة من خلال أساسيات الحركة، استكشفنا كيف تُستخدم الرياضيات لوصف وفهم الحركة في الفضاء الفيزيائي. من تمثيل الموضع كمتجه في فضاء ذي أبعاد عشوائية إلى اشتقاق وتكامل الدوال المتجهية للحصول على السرعة، التسارع ومعادلات الحركة، رأينا كيف تتشابك هذه المفاهيم وتطبق في تحليل الحركة.

الحركة، من خلال دراسة الحركة دون النظر إلى الأسباب التي تُنتجها، تقدم لنا رؤية نقية وأنيقة رياضياً لحركة الأجسام النقطية. باستخدام أدوات التفاضل والتكامل، يمكننا فك أنماط الحركة والتنبؤ بمسارات المستقبل، وهو أمر أساسي في العديد من مجالات الفيزياء والهندسة.

وأخيرًا، فإن تضمين التسارع الناتج عن الجاذبية في معادلاتنا سيؤدي بنا إلى تطبيقات أكثر تحديدًا، مثل السقوط الحر وإطلاق المقذوفات، مما يثبت أهمية وإمكانية تطبيق الحركة في عالمنا اليومي. لذلك، فإن دراسة الحركة ليست مجرد تمرين نظري، بل هي أداة أساسية لفهم والتلاعب بالعالم الفيزيائي من حولنا.