Considerationes novae

Ut consequentia eorum quae visa sunt in Propagatione Undarum Electromagneticorum in Vacuo, in relativitate speciali ponitur ut principium quod velocitas lucis c sit eadem pro omnibus systematibus inertialibus. Sed talis suppositio non est gratuita, quia secum fert has implicationes:

1. Transformationes Galileanae deserendae sunt ut medium validum ad transformandas observationes unius systematis inertialis in alterius.
2. Abicienda est notio intuitiva quod tempus eodem modo fluat pro omnibus referentialibus inertialibus.

Per has considerationes obtinentur transformationes Lorentz, quae correctionem et generalizationem praebent transformationibus Galileanis, quae etiam ad theoriam electromagneticam valent.

Obtinentia transformationum Lorentz

Recapitulatio de transformationibus (linearibus) coordinatarum

Consideremus duo systemata inertialia S et S^\prime in configuratione standard tali ut origo secundum moveatur cum velocitate constanti \vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x} respectu originis primi. Quod fiet in sequentibus est demonstrare quod, si coordinatae unius eventus visae ex duobus systematibus inertialibus S et S^\prime inter se referuntur per transformationem linearem sicut recensitam in Principio Relativitatis (speciatim, hac expressione) et accipitur quod lux eandem velocitatem habeat in omnibus systematibus inertialibus, tunc transformatio coordinatarum correspondet ipsis transformationibus Lorentz quas postea obtinebimus.

Principio, coordinatae (t,x) unius eventus visae ex S, et coordinatae (t^\prime, x^\prime) eiusdem eventus visae ex S^\prime quod movetur cum velocitate v_{v}=v_{x_0}\hat{x} relative ad S,, inter se referuntur per transformationem linearem talem ut:

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

ubi A, B, C et D sunt constantes determinandae et omissae sunt (sine iactura generalitatis) coordinatae y et z ad simplicitatem obtinendam.

Introducens velocitatem lucis ut constantem universalem

Constantes A, B, D et E determinari possunt ex his novis considerationibus invocando aliquos casus speciales. Ante omnia, meminisse debemus transformationem coordinatarum expressam per [1] et [2] semper valere debere, atque ex hoc consequitur ut in singulis casibus particularibus valeat, et hi casus particulares sunt qui infra enuntiabuntur ad inquirendum in eorum formam:

• Consideremus eventum moveri cum velocitate lucis: Si hic habet coordinatas (t,x) visus ex S et (t^\prime, x^\prime) visus ex S^\prime, tunc satisfacere debet relationem:

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  Ex hoc infertur quod

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• Consideremus eventum moveri cum systemate inertiali S^\prime:

  Si eventus easdem coordinatas habet quas origo systematis inertialis S^\prime, tunc fiet ut x=v_0 t et x^\prime =0. Consequenter, ex aequatione [2] habebitur:

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\:\:\;[4] \end{array}

• Denique, consideremus eventum manere apud originem systematis inertialis S:

  Hoc in casu fiet ut x=0 et x^\prime = -v_0 t^\prime, ita ut ex aequatione [2] habeatur:

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  Deinde, ex [1] et [5] habetur quod:

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

Denique, ex [4] et [6]: A = E, ita ut systema aequationum datum per [1] et [2] redigatur ad

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

Impetus velocitatis et factor Lorentz

Nunc, reponendo [7] et [8] in [3] habetur

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

ex his quae caeruleo relicta sunt obtinetur

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

Hoc plerumque scribitur reponendo A=\gamma_x (factor contractionis Lorentz) et \beta_x = v_{x_0}/c (impetus velocitatis), ita ut habeatur forma:

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

Et reponendo [9] in [2] obtinetur:

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

ex his quae rubro relicta sunt obtinetur

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

ita ut, reponendo [9] et [10] in [7] obtineatur

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

Synthesis transformationum Lorentz

Denique, transformatio linearis quae mutationem coordinatarum inter systemata S et S^\prime exprimitur datur per has formulas.

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

Hoc systema transformationum exprimi potest forma matriciali hoc modo

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

Hoc est quod cognoscitur ut Transformationes Lorentz relativitatis specialis

Transformationes Lorentz conveniunt et generalizant ad transformationes Galileanas

Convergentia transformationum Lorentz ad Galileanas observatur cum inspicitur quid fiat transformationibus Lorentz cum velocitas inter systemata inertialia multo minor est quam lux. Cum hoc fit habetur:

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

Ita ut:

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

id est:

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

quod omnino congruit cum transformationibus Galileanis. Per hoc confirmatur quod, Transformationes Lorentz generalizant transformationes Galileanas pro velocitatibus proximis ad lucem et ad easdem Galileanas confluunt cum velocitates multo minores sunt quam velocitas lucis.