Lex Prima Thermodynamicae

Lex Prima Thermodynamicae est fundamentum quod coniungit notiones fundamentales ut calorem, laborem et energiam internam, statuens energiam nec creari nec deleri, sed tantum transformari. Hoc documentum explanat quomodo haec lex ad systemata clausa applicetur, penitius perscrutans analysin laboris thermodynamici, capacitates calorificas atque proprietates statisticas gasorum. Per coniunctionem formulationum mathematicarum et rationum physicorum, invenies instrumenta essentialia ad intellegendos processus energeticos in systematibus complexis.

Proposita Discendi:
Post hanc lectionem discipulus poterit

1. Justificare Legem Primam Thermodynamicae pro systematibus clausis, explicans relationes inter calorem, laborem et energiam internam.
2. Analyzare notionem laboris thermodynamici in processibus compressionis et expansionis, utens formulis differentialibus.
3. Computare capacitatem calorificam in condicionibus voluminis et pressionis constantibus, applicando restrictiones thermodynamicas.
4. Explicare distributionem Maxwell-Boltzmann atque principium aequipartitionis energiae in systematibus molecularibus.
5. Demonstrari relationes specificas inter capacitates calorificas, indicem adiabaticum et alias proprietates thermodynamicas gasorum idealiorem.

INDEX CONTENTORUM:
Formulatio Legis Primae Thermodynamicae
Labor thermodynamicus
Capacitas calorifica
Distributio Maxwell-Boltzmann et aequipartitio Energiae
Exercitia

Formulatio Legis Primae Thermodynamicae

Lex prima thermodynamicae statuit quod:

LEX PRIMA THERMODYNAMICA Energia nec creatur nec destruitur; praeterea, calor et labor sunt formae energiae (emissae, absorptae vel adhibitae a processu)

Energia interna U est functio status quia habet valorem bene definitum pro unoquoque statu aequilibrii systematis. Variari potest energia interna systematis applicando calorem Q aut per laborem W; attamen, labor et calor non sunt functiones status. Hoc fit quia utrumque pendet a processu quo energia additur vel extrahitur et, semel absoluto processu, impossibile est scire quantitatem caloris aut laboris quae effecta sit ad talem statum aequilibrii obtinendum.

Mutatio energiae internae systematis scribi potest hoc modo:

\Delta U = \Delta Q + \Delta W,

ubi \Delta Q est quantitas caloris suppeditati et \Delta W quantitas laboris in systema effecti. Conventione \Delta Q est positivum cum calor systemati suppeditatur; si \Delta Q est negativum, tunc calor e systemate extrahitur; \Delta W est positivum pro labore in systema effectu; si \Delta W est negativum, systema laborem in ambitum exercet.

Relatio inter laborem, calorem et energiam internam etiam exprimi potest forma differentiali per relationem

dU = \delta Q + \delta W.

Hic littera \delta adhibetur ad repraesentandos differentiales inexactos.

Systema thermaliter isolatum definitur ut illud systema quod calorem cum ambitu suo commutare non potest. Cum hoc fit, tunc habetur d U = \delta W. Hoc est Lex Prima Thermodynamicae ad systema adiabaticum restricta.

Labor thermodynamicus

Cum comprimimus filum elasticum in distantiam dx, respondet vi elastica magnitudinis F atque ideo perficiemus laborem

\delta W = Fdx.

Cum comprimimus gas, fingere possumus hoc ex multis filis elasticis iuxta positis et certum spatium occupantibus componi. Ita habemus quod, si vim F super superficiem A applicamus, tunc pressionem P=F/A applicabimus et scribere possumus igitur laborem effectum fore

\delta W = PAdx = -PdV .

Signum negativum quod in ultima aequatione apparet debetur quod Adx=-dV, et hoc fit quia, cum “fili elastici” comprimuntur in distantiam dx, volumen ab his formatum diminuitur. Cum labor in systema thermodynamicum exercetur, hoc respondet minuendo suum volumen.

Capacitas calorifica

Supponamus nunc nos velle plenius intellegere quomodo mutetur energia interna systematis cum calor additur. Generatim, energia interna est functio temperiei et voluminis, unde scribere possumus U=U(T,V). Deinde, cum energia sit differentiale exactum, possibile est exprimere mutationem U respectu T et V per relationem

\displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV.

Nunc, ex relationibus dU=\delta Q + \delta W et \delta W=-PdV possumus reformulare Legem Primam Thermodynamicae per rationes sequentes:

\begin{array}{rl} \delta Q &= dU + PdV\\ \\ & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV + PdV\\ \\ & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]dV \\ \\ \displaystyle \frac{\delta Q}{dT} & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]\frac{dV}{dT}. \end{array}

Hoc ultimum est relatio valida pro qualibet mutatione temperiei et voluminis.

Ex hoc quod obtinuimus determinare possumus quantitatem caloris quam addere debemus ut mutationem temperiei sub certis restrictionibus efficiamus.

Restrictio ad volumen constans

Ut videamus quid fiat ad volumen constans, recordemur definitionem capacitatis calorificae ad volumen constans esse C_V=(\partial Q/ \partial T)_V. Deinde, si nos coartamus ad volumen constans in analysi quam ante fecimus, tunc annullabimus terminum dV/dT in expressione \delta Q/dT. Hoc nobis valet tamquam iustificatio ad scribendum:

\displaystyle C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T} \right)_V

Restrictio ad pressionem constantem

Si pressionem constantem servamus, tunc habebitur

\displaystyle C_p =\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_P=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.

Capacitas calorifica gasi monoatomici

Cum consideremus gas monoatomicum, energia interna propter energiam kineticam particularum eius est formae \displaystyle U=\frac{3}{2}Nk_BT. Hoc effectum iustificatur per principium aequipartitionis energiae quod ex prospectu statistico motus particularum investigari potest.

Distributio Maxwell-Boltzmann et aequipartitio Energiae

Quoniam energia systematis est proportionalis ad suum Factor Boltzmann e^{-E/(k_BT)}. Ratiocinando ex hoc et considerantes energiam kineticam particularum formae \displaystyle E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2, possumus inferre energiam motui particularum systematis associatam, in unum ex tribus axibus coordinatis proiectam (Consideremus nunc axem \hat{x}), fore distributionem velocitatum g(v_x) proportionalem ad e^{-mv_x^2/(2k_BT)}. Id est:

g(v_x)= A e^{-mv_x^2/(2k_BT)},

ubi A est aliqua constans determinanda. Nunc, quoniam g(v_x) est functio distributionis, haec normalizata esse debet ita ut:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} g(v_x)dv_x= 1

Effectus utilis ad hanc condicionem analysandam est integralis Gaussiana

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx= \sqrt{\pi}

Ex hoc infertur quod

\displaystyle 1= \int_{-\infty}^{+\infty} Ae^{\frac{-mv_x^2}{2k_BT}}dv_x= A\sqrt{\frac{\pi}{m/(2k_BT)}} = A\sqrt{\frac{2\pi k_BT}{m}}

Et ideo

\displaystyle g(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}e^{-mv_x^2/(2k_BT)}

His habita, nunc possibile est computare velocitatem mediam in axem \hat{x} proiectam, \left< v_x^2\right>. Cuius effectus est:

\displaystyle \left< v_x^2\right \gt = \int_{-\infty}^{+\infty} v_x^2 g(v_x) dv_x = \sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}} \int_{-\infty}^{+\infty} v_x^2 e^{-mv_x^2/(2k_BT)} = \frac{k_BT}{m}

Et quoniam velocitas quadratica media decomponi potest hoc modo \displaystyle \left\lt v^2\right\gt = \left\lt v_x^2\right\gt + \left\lt v_y^2\right\gt + \left\lt v_z^2\right\gt atque singulae partes idem progressionem et effectum habent, possibile est scribere energiam kineticam mediam systematis particularum per

\displaystyle \left\lt E_{cin}\right\gt =\frac{1}{2}m\left\lt v^2\right\gt = \frac{1}{2}m \cdot 3\frac{k_BT}{m}= \frac{3}{2}k_BT.

Hoc est quod vocamus “principium aequipartitionis energiae”. Ex hoc possumus dicere quod si systema constat ex N particularibus cum energia cinetica media \displaystyle \left\lt E_{cin}\right\gt et energia totalis systematis est origine pure cinetica, tunc non solum habebimus energiam internam systematis fore \displaystyle U=3Nk_BT/2 (sicut praedictum est), sed etiam evidenter ostenditur energiam internam solum a temperie systematis pendere, unde:

\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = 0

Evolutio pro gase ideali

Nunc, recordantes aequationem gasorum idealium PV=Nk_BT =nRT. Si volumen explicamus obtinebimus

\displaystyle V= \frac{nRT}{P}

Ergo habebitur

\displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \frac{nR}{P}

Et si ad expressiones C_V et C_P accedamus, animadvertimus quod

\begin{array}{rl} C_P - C_V & \displaystyle = \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V} \right)_T + P \right]\left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = P\cdot \frac{nR}{P} = nR \end{array}

Nunc, cum \displaystyle C_V=(\partial U / \partial T)_V et U=3Nk_BT/2=3nRT/2, habetur:

\displaystyle C_V = \frac{3}{2}nR

et, proinde

C_P = C_V + nR = \displaystyle \frac{3}{2}nR + nR = \frac{5}{2}nR

Index adiabaticus

Magnitudo usus frequens est ratio inter C_P et C_V, atque ob hanc causam nomen speciale accipit. Definiri solet index adiabaticus \gamma per

\gamma = \displaystyle \frac{C_P}{C_V}

In casu gasorum idealium, index adiabaticus valorem exactum habet:

\gamma = \displaystyle \frac{5}{3}

Exercitia

1. Semprene verum erit quod dU=C_VdT? Compara casum generalem cum casu gasorum idealium et fundamenta responsionem tuam.
2. Assumendo pro gasi ideali valere U=C_VT, computa: (i) Energiam internam per unitatem massae et (ii) energiam internam per unitatem voluminis.
3. Unus moles gasi idealis monoatomici in cylindro pistonis includitur et ad temperaturam constantem T_0 per contactum cum reservo thermico conservatur. Gas lente expanditur ab volumine V_1 ad aliud volumen V_2 manente temperatura constanti omni tempore. (i) Mutaturne energia interna gasi? (ii) Computa laborem a gaso effectum et fluxum caloris in gasum.
4. Ostende quod, pro gasi ideali, relationes sequentes valent:

   \displaystyle \frac{R}{c_V} = \gamma-1

   \displaystyle \frac{R}{c_P} = \frac{\gamma -1}{\gamma}

   Ubi c_V et c_P sunt capacitates calorificae molares.