Problemata Combinatoria in Thermodynamica

Quot modis systema physicum ex milionibus elementorum compositum ordinari potest? In hac lectione tractabimus quomodo mathematicae sinant quaestiones huiusmodi in contextu thermodynamicae respondere, a distributione quantorum energiae in systematibus atomicis usque ad computationem configurationum possibilium in systematibus magnae scalae. Uti instrumentis sicut combinatoriis, logarithmis et formula Stirling, explorabimus quomodo numeros extraordinarios tractare et problemata apparenter inaccessibilia solvere.

Proposita Discendi:
Post hanc lectionem discipulus poterit

1. Intelligere quomodo problemata combinatoria ad contextum thermodynamicae applicentur, speciatim ad ordinationem systematum physicorum.
2. Computare configurationes possibiles systematum atomicorum per numeros combinatorios.
3. Adhibere formulam Stirling ad aestimandum ordinem magnitudinis configurationum complexarum.

INDEX CONTENTORUM:
Problemata combinatoria
Problemata cum magnis numeris
Usus logarithmorum et formulae Stirling ad computationem ordinis magnitudinis
Evolutio per approximationem simplicem
Evolutio per approximationem ordinariam
Exempla computationum combinatoriarum et ordinis magnitudinis
Casu 1: Magna factorialia
Casu 2: Magna combinatoria

Communis quaestio in quibusdam condicionibus physicis est: Quot modis diversis systema datum ordinari potest? Haec problemata combinatoria in thermodynamica frequenter occurrunt. Quamvis initio simplicia videantur, fiunt tamen difficilia cum numeros eximie magnos includimus, sicut numerus Avogadro N_A, qui exemplum est quantopere laboriosum sit cum magnitudinibus huiusmodi tractare.

Problemata combinatoria

Ad intellegendam magnitudinem problematum quae combinatoriam in thermodynamica implicant, consideremus hoc exemplum:

Exemplum: combinationes super quantos energiae

Ponamus systema ex 10 atomis compositum. Quisque atomus potest continere solum 1 vel 0 unitates energiae, appellatas quantos energiae. Quot modis diversis hi quanti distribui possunt si habemus (a) 10 quantos energiae et (b) 5 quantos energiae?

Solutio

Repraesentamus atomos ut spatia ad quantos energiae reponendos parata. Si spatium plenum est, significat atomo correspondenti iam suum quantum energiae inesse.

Ad numerandum modos quibus k quanti energiae inter n spatia distribuuntur, utimur numero combinatorio:

\displaystyle \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Haec ratio nobis praebet numerum \Omega statuum possibilium.

(a) Si 10 quanti inter 10 spatia distribuuntur, una sola forma est id faciendi. Itaque \Omega=1:

\displaystyle \Omega = \binom{10}{10}=\dfrac{10!}{10!(10-10)!} = \dfrac{10!}{10!0!} = 1

(b) Pro 5 quantis inter 10 spatia distributis, computationem facimus:

\begin{array}{rl} \Omega &= \displaystyle\binom{10}{5} \\ \\ &=\dfrac{10!}{5!(10-5)!} = \dfrac{10!}{5!\cdot 5!} \\ \\ &= \dfrac{5! \cdot 6\cdot 7\cdot 8 \cdot 9\cdot 10}{5! \cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} \\ \\ &= \dfrac{ 7\cdot 8 \cdot 9\cdot 10}{ 4\cdot 5} = 7\cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 = 252 \end{array}

Itaque 252 configurationes possibiles sunt.

Problemata cum magnis numeris

Quae hucusque investigavimus tantum initium est. Si systema casus (b) ad 100 atomos et 50 quantos extendamus, obtinebimus \Omega \approx 10^{28}. Nunc, imagina idem computum cum uno mole atomorum peractum; effectus inconceptibilis esset.

Usus logarithmorum et formulae Stirling ad computationem ordinis magnitudinis

Cum volumus aestimare magnitudinem formae \Omega = \binom{n}{k} pro magnis valoribus n, praesertim cum k=n/2, quod est casus quo valores maximi attinguntur, utile fit approximatione logarithmica Stirling uti.

Ad numeros huius magnitudinis tractandos, possumus computus reformulare logarithmos sumendo, obtinentes:

\displaystyle \ln(\Omega)=\ln\left(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\right)= \ln(n!) - \ln((n-k)!) - \ln(k!)

Haec expressio tractari potest utens approximatione Stirling ad logarithmum factorialem; ad hoc habemus duas versiones possibiles, ordinariam et simplicem:

• Approximatio ordinaria: \ln(n!) \approx \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n
• Approximatio simplicata: \ln(n!) \approx n\ln(n) - n

Evolutio per approximationem simplicem

Utendo approximatione simplici obtinentur sequentia resultata:

\begin{array}{rl} \ln(\Omega) & \approx n\ln(n) - n - (n-k)\ln(n-k) + (n-k) - k\ln(k) + k \\ \\ &= n\ln(n) - (n-k)\ln(n-k) - k\ln(k) \\ \\ &= n\ln(n) - n\ln(n-k) + k\ln(n-k) - k\ln(k) \\ \\ &= \ln\left[ \left( \dfrac{n}{n-k} \right)^n \right] + k\ln\left( \dfrac{n-k}{k} \right) \\ \\ &= \ln\left[ \dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{k}{n} \right)^n} \right] + k\ln\left( \dfrac{n}{k} - 1 \right) \end{array}

Cum haec approximatio magnos valores n consideret, relationem applicamus:

\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1-\dfrac{k}{n} \right)^n = e^{-k}

Itaque:

\ln(\Omega) \approx \ln(e^k) + k\ln\left( \dfrac{n}{k} -1 \right) = k + k\ln\left( \dfrac{n}{k} -1 \right)

Denique, adhibito mutatione basis pro logarithmis, obtinemus:

\log(\Omega) = \log(e)\ln(\Omega) \approx k\log(e)\left[1 + \ln\left( \dfrac{n}{k} - 1 \right) \right]

Quod nos ducit ad resultatum:

\boxed{\Omega \approx 10^{k\log(e)\left[1 + \ln\left( \dfrac{n}{k} - 1 \right) \right]}}

Quamquam hic effectus non praebet valorem exactum \Omega, sinit tamen aestimationem numeri digitum necessariorum ad eum repraesentandum et melior fit cum n maius efficitur. Hoc methodo sufficit computare quod in exponente positum est, quod pleraeque calculatrices efficere possunt.

Praeterea, hic modus sinit celeriter aestimare valorem maximum \Omega pro magno valore n. Considerato casu quo k=n/2, obtinemus:

\text{Max}\left(\Omega\right) \approx 10^{\dfrac{n}{2}\log(e)\left[1 + \ln\left( \dfrac{n}{n/2} - 1 \right) \right]} = 10^{ n\log(e)/2 }

Evolutio per approximationem ordinariam

Quamquam evolutio per approximationem ordinariam effectum accuratiorem praebebit, implicabit tamen nonnullos computus additos qui ad eventus fere aequivalentes pro magnis valoribus n ducent. Evolutio huius approximationis plures ex computationibus iam factis in approximatione simplici recyclet, ut in sequenti ratiocinio ostenditur:

\begin{array}{rcl} \ln(\Omega) & = & \ln\left(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\right)= \ln(n!) - \ln((n-k)!) - \ln(k!) \\ \\ & \approx & \color{red}\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)\color{black} + n\ln(n) - n \\ \\ & & \color{red}-\dfrac{1}{2}\ln(2(n-k)\pi)\color{black} - (n-k)\ln(n-k) + (n-k) \\ \\ & & \color{red}-\dfrac{1}{2}\ln(2k\pi)\color{black} - k\ln(k) + k \end{array}

Pars rubro signata respondet elementis additis in approximatione ordinaria consideratis, dum cetera sunt quae iam in approximatione simplici obtenta sunt. Ex hoc habetur:

\begin{array}{rcl} \ln(\Omega) & \approx & \color{red}\dfrac{1}{2}\ln\left( \dfrac{2n\pi}{2(n-k)\pi \cdot 2k\pi} \right)\color{black} + k + k\ln\left(\dfrac{n}{k} - 1\right) \\ \\ & = & k + k\ln\left(\dfrac{n}{k} - 1\right) - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{2k\pi(n-k)}{n}\right) \end{array}

Deinde, adhibito mutatione basis logarithmorum, habetur

\log(\Omega) = \log(e)\ln(\Omega) \approx \log(e) \left[ k + k\ln\left(\dfrac{n}{k} - 1\right) - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{2k\pi(n-k)}{n}\right) \right]

Denique, sumendo exponentialem basis 10 obtinetur

\Omega \approx 10^{\log(e) \left[ k + k\ln\left(\dfrac{n}{k} - 1\right) - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{2k\pi(n-k)}{n}\right) \right]}

Nunc, similiter ac prius, possumus invenire valorem maximum huius numeri evaluando cum k=n/2, quod hoc in casu sequentem effectum dabit:

\begin{array}{rcl} \text{Max}(\Omega) &\approx & 10^{\log(e) \left[ \dfrac{n}{2} + \dfrac{n}{2}\ln\left(\dfrac{n}{(n/2)} - 1\right) - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{2(n/2)\pi(n-n/2)}{n}\right) \right]} \\ \\ & = & 10^{\log(e) \left[\dfrac{n}{2} - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{n\pi}{2} \right) \right]} = 10^{\log(e)(n-\ln(n\pi/2))/2} \end{array}

Exempla computationum combinatoriarum et ordinis magnitudinis

Casus 1: Magna factorialia

Aestimemus ordinem magnitudinis \left(10^{50}\right)!, id est, quantitatem digitum necessariorum ad hunc numerum scribendum.

Solutio

Ad hunc computum perficiendum, formulam Stirling hoc modo adhibemus:

\begin{array}{rl} \ln\left[ \left(10^{50}\right)! \right] &\approx 10^{50}\ln\left(10^{50}\right) - 10^{50}\\ \\ &= \left[\ln\left(10^{50}\right) -1\right]10^{50} \\ \\ &= \left[50\ln(10)-1 \right]10^{50} \\ \\ \end{array}

Deinde, mutationem basis logarithmorum applicamus:

\ln\left[ \left(10^{50}\right)! \right] = \dfrac{\log\left[\left(10^{50}\right)!\right]}{\log{e}}

Itaque:

\log\left[ \left(10^{50}\right)! \right] \approx \log(e)\left[50\ln(10)-1 \right]10^{50}

Denique, applicata exponentiali basis 10, obtinemus:

\left(10^{50}\right)! \approx 10^{\log(e)\left[50\ln(10)-1 \right]10^{50}} = 10^{49,5657 \cdot 10^{50}}

Exponent super 10 ordinem magnitudinis repraesentat, praebens aestimationem numeri digitum quos numerus \left(10^{50}\right)! habet.

Casus 2: Magna combinatoria

Domus mediocris circiter 12 interruptoria lucis habet, quae accensa vel exstincta esse possunt. In mediocris, unaquaeque domus 4 personas alit. Si civitas 5 miliones incolarum habet, quot modis possibilibus dimidia pars interruptorum civitatis accensa esse potest?

Solutio

Numerus n interruptorum totorum in urbe est:

\begin{array}{rcl} n &=&\dfrac{\text{incolae in urbe}}{\text{personae per domum}} \times \text{interruptoria per domum} \\ \\ &=& \dfrac{5\cdot 10^6}{4}\cdot 12 = 15\cdot 10^6 \end{array}

Macrostatus ex omnibus microstatibus constitutus, in quibus dimidia pars interruptorum accensa est, congruit cum macrostatu qui maximum numerum configurationum possibilium habet. Hoc numerum maximum, \Omega_{max} denotatum, aestimationes sequentes praebere possumus secundum quemque modum:

Aestimatio ordinaria: \Omega_{max} = 10^{\log(e)\left[15\cdot10^6 - \ln\left(15\pi\cdot10^6 / 2 \right) \right]/2} \approx 10^{6.514.413,542}
Aestimatio simplicata: \Omega_{max} = 10^{\log(e)\left[15\cdot10^6 \right]/2} \approx 10^{6.514.417,229}

Quamvis inter utrasque approximationes differentia prope 4 ordines magnitudinis (quae magna videri potest) exstet, re vera hoc parum momenti est respectu amplius 6 milionum et dimidii ordinum magnitudinis.