Pressio fluidorum in quiete

Quid scimus de pressione fluidi in quiete? Scimus quod si illud in quodam vase ponimus, cum relatio P=F/A, valeat, et propter pondus eius, in omni puncto interioris erit pressio secundum profunditatem.

Pressio fluidi in quiete in quodam puncto interioris directe proportionalis est profunditati eius. Id scimus per expressionem:

P = \rho g h

Ubi \rho est densitas fluidi, g acceleratio gravitatis et h profunditas.

Hoc demonstrare possumus immergendo cylindrum imaginarium cuius area basis A est, horizontaliter positum (simplicitatis causa) in quodam puncto profunditatis h intra fluidum.

Videbimus discum opprimi pondere fluidi quod superius est atque vi normali inferius, quae aequa et contraria est pondere (quoniam systema in quiete assumimus).

Deductio formulae pressionis fluidi in quiete: {P=\rho g h}

Fluidum supra corpus immersum constituit alium cylindrum quoque areae basalis A, sed altitudinis h, atque consequenter volumen habet.

V=A h

Unde inferimus quod

\displaystyle A=\frac{V}{h}

Si fluidum densitatem \rho habet, tunc massa fluidi quae discum comprimit est m=\rho V, atque igitur vim ponderis exercet

F_p=m g = \rho V g

Et similiter, vis normalis in faciem inferiorem cylindri exercetur eadem magnitudine sed in faciem oppositam.

Cum pondus et vis normalis sint verticales, hae nullam pressionem exercent in latera cylindri.

Si cylindrum satis planum et leve consideramus, tunc pondus eius nihil conferet quod a vi normali compensari debeat, praeterea quivis effectus in latera erit neglegendus respectu reliquorum. Ita vis totalis in corpus erit:

F_{total}=F_p + F_n = 2\rho V g

Hoc “+” in hac vi debetur quod vires versus interiorem superficiei diriguntur.

Hoc modo, pressio in corpus immersum erit:

\displaystyle P = \frac{F_{total}}{A_{inferior}+A_{superior}}=\frac{2 \rho V h}{2A} = \frac{\rho V g}{\frac{V}{h}} = \rho g h

Ex hoc videmus pressionem quam fluidum (in quiete) exercet eandem esse in omnibus punctis eiusdem profunditatis. Hoc valet tam pro liquidis quam pro gasibus (dum in quiete sint), ita ut si columnam aeris supra nos consideremus, loqui possimus etiam de «pressione atmosphaerica».

Pressio atmosphaerica ad planum maris est

P_{atm} = 1[atm] = 101.325,0 [Pa] = 760 [Torr]=0.981[barr].

Meminisse debemus 1[Pa] = 1[N/m^2].

Combinando pressionem atmosphaericam cum ea quam fluidum ob proprium pondus exercet habemus pressionem hydrostaticam

P = P_{atm} + \rho g h

Pressio Relativa

Cum pressionem metimur, plerumque id facimus immersi in medio. Aliquando pressio medii est momenti et alias minus est. Exempli gratia, cum pressionem rotarum vehiculi tui metiris, non cures addere pressionem atmosphaericam quia quod revera refert ad rectum functionem est differentia pressionis inter interiorem rotae et ambientem externum:

Si nimis alta est, plus quam necesse inflatur; si nimis humilis est, deflat.

Hac de causa varias habemus formas loquendi de pressione.

Pressio Atmosphaerica

Iam antea de hac locuti sumus, et est pressio quae propria est medii in quo immersi sumus. Exempli gratia, in Himalaya pressio atmosphaerica potest fieri usque ad 1/3 pressionis quam ad planum maris habemus. Generaliter repraesentatur per P_{atm} vel P_{0}.

Pressio Absoluta

Cum consideramus pressionem quae ex summa omnium virium in corpus agentium provenit, loquimur de Pressione Absoluta. Pressio hydrostatica quam antea recensuimus est species pressionis absolutae quia considerat summam pressionum propter pondus liquidi + pressionem a atmosphaera exercitam. Alia ratio exprimendi pressionem absolutam est sicut “pressio relativa ad vacuum”. Repraesentatur per P_{abs}.

Pressio Manometrica et Pressio Vacui

Cum pressionem rotarum vehiculi metimur, et rota et instrumentum mensurandi a circumiecta atmosphaera comprimuntur. Hac de causa, quod instrumentum re vera metitur est differentia pressionis inter interiorem et exteriorem. Haec pressio “pressio manometrica” appellatur, repraesentatur per P_{man} et relationem satisfacit:

P_{man} = P_{abs} - P_{atm}

Pressio quam metimur considerantes solum pondus fluidi est exemplum pressionis manometricae. Si pressio absoluta altior est quam atmosphaerica, metimus pressionem manometricam; sin autem, metimus pressionem vacui P_{vac}, quae similiter definita est:

P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}

Hoc fit, exempli gratia, cum aerem e siringa extrahis, introitum/exitum aeris obturas et deinde pistonem retrahis; pressio atmosphaerica pistonem retro comprimere conabitur et pressio in interiori siringae erit, proinde, pressio vacui.

Exempla practica

Quidam vir modo piscinam aedificavit 39[pedes] longam, 26[pedes] latam et 5.2[pedes] profundam et haec dubia habet:

1. Pumpam pro piscina emit, sed solum cum domum venit cogitavit de inspiciendis specificationibus fabricatoris. Hae dicunt in usu non debere superari pressionem manometricam 0,193[atm]. Potestne pompam in fundo piscinae suae instituere?
2. Non contentus quod oblitus est specificationum pompae, hic vir problema auditivum habet. Fit ut tympana eius non possint sustinere vim maiorem quam 10[N]. Si tympana eius diametrum 1[cm] habent, forma fere circulari, poteritne hic vir tranquille in fundo piscinae suae submergi?

SOLUTIO:

1. 1. Hoc in casu, pressionem manometricam fundi piscinae determinare possumus ut eam quae sola aqua piscinae exercetur. Ergo ex formula pressionis fluidi in quiete habebimus:

      P_{man} = \rho g h

      Sumendo densitatem aquae \rho=997[kg/m^3],, profunditatem in metra conversam h=5.2[pes] = 5.2\cdot 0.3048[m] et accelerationem gravitatis g=9.81[m/s^2], habetur quod pressio manometrica in fundo piscinae erit

      P_{man} =997[kg/m^3]\cdot 9.81[m/s^2] \cdot5.2\cdot 0.3048[m] \approx 15.501,81[Pa]

      Sed 1[atm] = 101.325[Pa], ita ut

      \displaystyle P_{man} \approx \frac{15.501,81}{101.325}[atm]\approx 0.1523[atm]

      Itaque sic. Cum pressio manometrica fundi piscinae infra 0,193[atm] sit quam fabricator indicavit ut limitem pro bono functione pompae, haec recte operabitur et vir pecuniam suam non perdidit.

   2. Ex parte priore iam calculavimus pressionem manometricam in fundo piscinae, sed nunc pressionem totalem necesse est. Nullum problema in hoc, sufficit meminisse quod:

P_{total} = P_{man} + P_{atm}

et utramque iam habemus. Ex hoc consequitur quod

P_{total} \approx 15.501,81[Pa] + 101.325[Pa] = 116.286,81[Pa]

Nunc necesse est cognoscere aream tympani huius boni viri. Cum tympanum fere circulare sit, habetur:

\displaystyle A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

Hic expresi aream circuli ut functionem diametri d, quae est 1[cm]. Itaque:

\displaystyle A \approx \frac{3.14 \cdot 1[cm^2]}{4} = \frac{3.14 \left[\frac{m}{100}\right]^2}{4} = \frac{3.14}{4\cdot 10.000}[m^2]=0.785\cdot 10^{-4}[m^2]

Denique, cum P=F/A, vis totalis a pressione in fundo piscinae super tympanum huius viri applicata erit

F=PA\approx 116.826,81[Pa] \cdot 0.785\cdot 10^{-4}[m^2] \approx 9.17[N]

Cum non superet 10[N], vix potest ille vir sine difficultatibus in fundo piscinae submergi. Quantopere felix est hic vir.