Wenn wir die Stichprobenräume untersuchen, stellen wir fest, dass diese von zwei Arten sein können: diskret und kontinuierlich. Wenn der Stichprobenraum kontinuierlich ist, ist es möglich, Zufallsvariablen dieser Art zu definieren und daraus die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen abzuleiten. Wir haben bereits das Thema Zufallsvariablen hier behandelt; nun konzentrieren wir uns auf die diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Das Konzept der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wir sagen, dass eine Zufallsvariable X eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung hat, wenn es eine endliche oder abzählbar unendliche Menge C\subset\mathbb{R} gibt, so dass P\left(X\in C\right)=1;. Auf diese Weise, wenn wir Werte x\in C haben, so dass p_X(x) = P(X=x), lässt sich überprüfen, dass, wenn A\subset\mathbb{R},, dann gilt:

\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}

Und insbesondere,

\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}

Wenn wir P(X\in A) berechnen unter Verwendung von A=]-\infty, t],, finden wir:

P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)

Aus dieser Berechnung schließen wir, dass F_X eine „Treppe“ mit Sprüngen bei x\in C der Größe p_X(x). ist. Die Funktion p_X, die von C nach [0,1] geht, nennen wir Häufigkeitsfunktion. Somit wird eine diskrete Verteilung durch eine endliche oder abzählbar unendliche Menge C\subset \mathbb{R} und eine Funktion p_X(x)\geq 0 bestimmt, die für jedes x\in C definiert ist und die Ausdrücke (*) und (**) erfüllt.

Die 5 bekanntesten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen

In diesem Abschnitt setzen wir unser Studium der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen fort. Im Folgenden betrachten wir die 5 bekanntesten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die anhand von Beispielen illustriert werden, welche zeigen, welche Arten von Problemen damit gelöst werden können.

Binomial- oder Bernoulli-Verteilung

Die Binomial- oder Bernoulli-Verteilung nimmt als Zufallsvariable die Anzahl der Erfolge oder Misserfolge (X) in n Versuchen mit individueller Wahrscheinlichkeit p. Es heißt, dass die Zufallsvariable X einer Binomialverteilung folgt, X\sim Bi(n,p), dann gilt:

\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Prozesse werden in zwei Kategorien unterteilt: räumlich und zeitlich. Diese Unterscheidung ergibt sich aus der Zerlegung des Parameters \lambda:

• Zeitlicher Fall: \lambda=f\cdot T, wobei f eine Frequenz und T eine Zeitspanne ist.
• Räumlicher Fall: \lambda=\rho \cdot V, wobei \rho eine Dichte und V ein Stichprobenvolumen ist.

Es ist wichtig hervorzuheben, dass der Parameter \lambda in beiden Fällen dimensionslos sein muss. Es ist auch zu beachten, dass der Poisson-Prozess ein Grenzfall des Binomialprozesses ist, sodass die mit diesem Prozess verbundene Zufallsvariable ebenfalls mit einer bestimmten „Anzahl von Erfolgen oder Misserfolgen“ verknüpft ist. Es heißt, dass die Zufallsvariable X einer Poisson-Verteilung folgt, X\sim Po(\lambda),, wenn gilt:

\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Geometrische Verteilung

Stell dir einen Binomialprozess vor (wie das wiederholte Werfen einer Münze). Wenn du dich anstelle der Anzahl der Erfolge nach einer bestimmten Anzahl von Versuchen fragst, wie viele Versuche du durchführen musst, um den ersten Erfolg zu erzielen, dann handelt es sich um eine diskrete Zufallsvariable mit geometrischer Verteilung. Eine Zufallsvariable X hat eine geometrische Verteilung, X\sim Ge(p),, wenn gilt:

\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

Negative Binomialverteilung

Ähnlich wie die geometrische Verteilung ist die Negative Binomialverteilung, nur dass sie etwas allgemeiner ist. Wenn du einen Binomialprozess durchführst (wie das wiederholte Werfen einer Münze) und dich nicht nach der Anzahl der Erfolge, sondern nach der Anzahl der Versuche bis zum m-ten Erfolg fragst, dann handelt es sich um eine diskrete Zufallsvariable mit Negativer Binomialverteilung. Wenn eine Zufallsvariable X eine Negative Binomialverteilung hat, X\sim Bn(m,p),, dann gilt:

\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}

Hypergeometrische Verteilung

Stell dir vor, du hast einen Beutel mit N Kugeln in verschiedenen Farben, von denen M weiß und der Rest schwarz sind. Wenn du aus diesem Beutel n Kugeln ohne Zurücklegen ziehst, dann ist die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln eine diskrete Zufallsvariable mit hypergeometrischer Verteilung. Wenn eine Zufallsvariable X eine hypergeometrische Verteilung hat, X\sim Hg(N,M,n),, dann gilt:

\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}

Vorgeschlagene Übungen

1. Ein Brettspielgeschäft verkauft zufällig Karten aus einem Los von 500 Sammelkarten (stell dir vor, es sind Karten aus Myths, Magic, Pokémon oder einem anderen TCG). Wenn der Verkäufer sicherstellt, dass insgesamt stets 450 gewöhnliche Karten (geringer Wert) und 50 seltene Karten (hoher Wert) vorhanden sind, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Kauf von 20 zufällig ausgewählten Karten 3 seltene zu erhalten?

2. Unter Verwendung der folgenden Karte in einem Spiel:

   

   Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Karten des Gegners abgeworfen werden?

3. In einem bestimmten Geschäft beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein Gerät mit Fabrikfehler zu verkaufen, 2%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zehnte verkaufte Gerät das dritte mit Fabrikfehler ist?