整域と整数
要約：
本講義では、整域の概念を導入し、それが一般代数学の研究においていかに重要であるかを説明します。また、形式的証明を通じて、その基本的な性質のいくつかを明らかにします。
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学習目標：
本講義を修了した学生は以下のことができるようになります：
- 理解する：一般代数学の研究目的を理解する。
- 理解する：整域の概念を理解する。
- 説明する：整域と整数に共通する基本的側面を説明する。
- 証明する：整域の基本的性質を形式的証明によって示す。
目次
一般代数学の目的と予備知識
整数から整域へ
整域と整数に共通する基本的側面
整域と整数の性質
練習問題
一般代数学の目的と予備知識
一般代数学の主な目的は、あらゆる数学的体系の多様性を研究することにあります。本講義では、いくつかの体系を取り上げますが、特に重要なのは自然数と整数です。これらを通して、最終的に整域へと到達します。
\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}
\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}
整数から整域へ
まずは整数の研究から始めます。その理由は、整数がこれから本講義で扱う多くの数体系と最も多くの共通点を持っているからです。
整数とは何かを定義しようとする代わりに、それらがどのような性質を満たしているかを仮定するところから始めます。このため、整数に直観的に関連づけられるすべての性質が導き出せるような一連の公理を選びます。
これらすべては、自然数に基本的な算術演算を導入する際のペアノの公理によって行われます。このような公理的手法に従い、自然数や整数に演算を拡張することで、有理数、無理数、実数、複素数、四元数、八元数などの新しい数体系が得られます。
次に、整数の性質を観察すると、すべての他の数体系にも共通して現れる性質があることに気づきます。たとえば、乗法単位元や加法単位元、分配法則の存在などです。これらの性質を前提とすることで、すべての数体系について共通の言語で議論することが可能になります。このような文脈において、次のような用語が現れます：
- 整域
- 環
- 群
- ベクトル空間
など、多くのこの種の用語が登場します。本講義ではまず整域の研究に焦点を当てます。
整域と整数に共通する基本的性質
整域とは何かを説明するために、私たちは整数からよく知られている性質を利用します。この文脈では、a、b、c が整数であるとすると、次の法則が成り立ちます：
- 可換法則：
- a+b = b + a
- ab = ba
- 結合法則：
- a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
- (ab)c = abc = a(bc)
- 分配法則：
- a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac
さらに、特別な要素として単位元が存在します：
- 加法単位元： a+ c = a \leftrightarrow c=0
- 乗法単位元： ac = a \leftrightarrow c=1
整数はまた加法逆元も持ちます。任意の整数には、加法逆元が存在し、それと加えると加法単位元になります。
- 加法逆元： a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a
加法逆元は、その前に付されたマイナス記号「-」によって識別されます。
最後に、約簡法則と呼ばれる法則が存在し、次のように表現されます：
(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)
これらの性質は、実数、複素数、多項式など多くの他の集合にも当てはまります。このため、これらの性質を満たすすべての集合を整域と呼びます。
定義： 整域とは、加法および乗法が定義された集合 D で、以下の条件を満たすものです：
- a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
- a,b\in D \longrightarrow ab \in D
さらに、結合法則、可換法則および分配法則が成立し、D は加法単位元と乗法単位元を含み（これらはいずれも一意である）、最後に約簡法則が成り立ちます。
整域の例
A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}という集合を考えましょう。この集合に通常の加算および乗算を定義すると、これは整域になります。なぜなら、この集合は可換性、結合性、分配性の法則を満たし、加法単位元と乗法単位元を持ち、加法逆元も存在するからです。
- 加法単位元： 0+0\sqrt{3}
- 乗法単位元： 1+0\sqrt{3}
- 加法逆元： 任意の要素 a+b\sqrt{3} に対し、その加法逆元は -a-b\sqrt{3} です。
そして最も重要な点は、この集合 A が加算と乗算に関して閉じていることです。つまり、x,y\in A であれば、x+y\in A および xy\in A も成り立ちます。これは簡単に確認できます。もし a_1 + b_1\sqrt{3} および a_2 + b_2\sqrt{3} が A の要素であれば、次のようになります：
\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}
整域と整数の性質
整域における加法単位元の一意性
これは背理法により証明できます： 加法単位元が2つ存在すると仮定しましょう。すなわち、0 と 0^\prime が加法単位元であるとします。このとき次のようになります：
\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{； 前提}\\ (2) & a+0 = a & \text{； 前提：$0$ は加法単位元}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{； 前提：$0^\prime$ は加法単位元}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{； $(2)$ に $a=0^\prime$ を代入}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{； $(3)$ に $b=0$ を代入}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{； $(4)$ と $(5)$ より、加算の可換性を用いる}\\ (7) & \bot &\text{； $(1)$ と $(6)$ の矛盾} \end{array}
この推論から、次のことが結論として導かれます：
\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.
したがって、背理法により次のようになります：
\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.
つまり、もし加法単位元が2つ存在するなら、それらは等しくなければならず、したがって一意であるということです。
乗法単位元も一意である
この証明は前述のものとほぼ同様です。 もし 1 と 1^\prime という2つの乗法単位元が存在すると仮定すると、次のように推論できます：
\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{；前提}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{；前提：$1$ は乗法単位元}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{；前提：$1^\prime$ は乗法単位元}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{；$(2)$ に $a=1^\prime$ を代入}\\ (5) & 1^\prime \cdot 1 = 1 & \text{；$(3)$ に $b=1$ を代入}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{；$(4)$ と $(5)$ より、乗算の可換性を用いて導く}\\ (7) & \bot &\text{；$(1)$ と $(6)$ の矛盾} \end{array}
したがって、次のような結論に至ります：
\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.
よって、背理法により次のようになります：
\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.
つまり、もし乗法単位元が2つ存在するなら、それらは等しく、したがって一意であるということです。
加算に対する約簡法則が成り立つ
a+b = a+c \longleftrightarrow a = c
この状況を証明するのは難しくありません。次のような推論を行えばよいのです：
\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{；前提} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{；$(1)$ に $-a$ を両辺に加える} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{；$(2)$ に可換性と結合性を適用} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{；$(3)$ より、加法逆元を用いる} \\ (5) & b = c & \text{；$(4)$ より、加法単位元を適用} \\ \end{array}
この推論は、同じ手順を逆にたどることで逆方向にも成り立つため、次のことが言えます：
a+b=a+c \dashv \vdash b=c
これは、次の命題と同値です：
\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c
加法単位元はまた、乗法の吸収元でもある
これは単に整域に属する任意の a に対して、次が成り立つことを意味します：
a\cdot 0 = 0
これも簡単に証明できます。以下の推論に従えば十分です：
\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{；分配法則}\\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{；$(1)$ と加法逆元より}\\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{；$(2)$ と分配法則より}\\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{；$(3)$ と加算の簡約法則より}\\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{；$(4)$ と加法逆元より}\\ \end{array}
符号の法則：
同符号の数の積は常に正であり、異符号の数の積は常に負になります。この性質の証明も簡単です：
\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{；加法単位元}\\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{；$(1)$ と加法逆元より}\\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{；$(2)$ と加法逆元より}\\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{；$(3)$ と加法逆元より}\\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{；$(4)$ と乗法の吸収性より}\\ \end{array}
したがって： ab = (-a)(-b)
異符号の場合も同様に：
\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{；加法単位元} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{；$(1)$ と加法逆元より} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{；$(2)$ と分配法則より} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{；$(3)$ と加法逆元より} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{；$(4)$ と乗法の吸収性より} \\ \end{array}
したがって： a(-b) = -a(b)
2つの数の積が0ならば、少なくとも一方は0である
この性質もまた非常によく使われるものです：
ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)
この証明も簡単です：
\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{；乗法の吸収性} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{；TD$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{；CPI$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{；RTD$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{；同様に$(4)$より} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{；$\wedge$-導入$(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{；TD(6)} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{；CPI(7)} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{；ド・モルガン(8)} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{；乗法の吸収性} \\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{；TD(10)} \\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{；$\rightarrow$の定義(11)} \\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{；二重否定(12)} \\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{；TD(13)} \\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{；$(9)$ と $(14)$ より} \end{array}
練習問題
a、b、c を整域 D の任意の要素とする。以下の性質が成り立つことを証明せよ：- (-a)=(-1)a 【解説】
- -(a+b)=(-a) + (-b) 【解説】
- a(-b)=-(ab) 【解説】
- -(-a)=a 【解説】
- a(b-c) = ab - ac 【演習】
- (a-b)+(b-c) = a-c 【演習】
- 任意の a\in D に対し、a\cdot 1 = a を満たす一意な 1 が存在する。【解説】
- xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) 【演習】