Nun beginnen wir unser Studium der Geradengleichung, der kartesischen Systeme und der Grundlagen der analytischen Geometrie.

Die Prinzipien der Analytischen Geometrie

Wenn die reellen Zahlen eingeführt werden, heißt es normalerweise, dass diese Punkte auf einer Geraden sind.

Ausgehend davon hatte Descartes die Genialität, zwei Geraden zu verwenden, um Punkte in einer Ebene als Koordinatenpaare (x,y) darzustellen.

Die Geradengleichung

Mit diesen Konzepten ist es nun möglich, eine Menge von Punkten in der Ebene zu betrachten, um Kurven zu bilden, wobei jeder Koordinate x eine andere Koordinate y zugeordnet ist, und dieses Zuordnungsgesetz durch eine Funktion gegeben ist. An diesem Punkt dringt die Algebra in die Geometrie ein und die „Analytische Geometrie“ entsteht.

Geometrisch verstehen wir eine Gerade als die Kurve, die zwei Punkte verbindet, indem sie die kürzeste mögliche Strecke zurücklegt.

Geometrisch verstehen wir eine Gerade als die Kurve, die zwei Punkte verbindet, indem sie die kürzeste mögliche Strecke zurücklegt. Wenn wir dies analysieren, erkennen wir gemäß dem Satz des Thales, dass zu jeder Änderung der Koordinate y eine Änderung der Koordinate x gehört, sodass der Quotient m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x für jedes Punktpaar auf der Geraden stets konstant ist. Dies nennen wir die „Steigung der Geraden“.

Da die Steigung für jedes beliebige Punktpaar der Geraden gleich ist, können wir, wenn wir Punkte der Geraden mit den Koordinaten (x,y), (x_0,y_0), (x_1,y_1) und (x_2,y_2) betrachten, schreiben:

\displaystyle \frac{y-y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Was gleichbedeutend ist mit

\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}

Daraus ergibt sich die bekannte Geradengleichung

\color{red}{{y = m(x-x_0) + y_0}}

Hierbei ist das Paar (x_0,y_0) ein fester Punkt, während das Paar (x,y) ein beliebiger Punkt ist.

Beispielaufgaben

1. Bestimme die Geradengleichung, die durch den Punkt (x_0,y_0)=(2,3) mit der Steigung m=3/2 verläuft [LÖSUNG]
2. Bestimme die Geradengleichung, die durch den Punkt (x_0,y_0)=(1,8) mit der Steigung m=7/5 verläuft [LÖSUNG]
3. Bestimme die Geradengleichung, die durch die Punkte (x_1,y_1)=(3,5) und (x_2,y_2)=(1,-2) verläuft [LÖSUNG]

Wie man die Geradengleichung grafisch darstellt

Wir haben bereits gesehen, wie man die Geradengleichung aus grafischen Informationen gewinnt; jetzt gehen wir den umgekehrten Weg: die grafische Darstellung aus der Geradengleichung ableiten.

Letztendlich wird die Geradengleichung immer in folgender Form dargestellt.

y=mx + b

Dabei ist m=\Delta Y / \Delta x die Steigung und b der Lagekoeffizient. Daraus ergibt sich die folgende Abbildung:

Beispielaufgabe

1. Zeichne die Gerade mit der Gleichung y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2 [LÖSUNG]
2. Zeichne die Gerade mit der Gleichung y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6 [LÖSUNG]

Anwendungsprobleme zur Geradengleichung

Die Gerade kann verwendet werden, um Probleme zu lösen, bei denen eine direkte Beziehung zwischen zwei Größen besteht, wie in den folgenden Beispielen:

1. Ein Fahrzeug mit Anfangsposition x_0 = 12[m] bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v=0{,}3[m/s]. Was ist seine Position nach 30[s]? [LÖSUNG]
2. Eine Person geht auf den Markt und kauft 1[kg] Äpfel und bezahlt insgesamt 50 Z\$. Am selben Tag geht dieselbe Person erneut auf den Markt und kauft weitere 3[kg] Äpfel für insgesamt 60 Z\$.. Wie viel kosten die Äpfel pro Kilogramm und wie hoch sind die Fahrkosten? [LÖSUNG]

Schnittpunkte zwischen Geraden

Nehmen wir an, wir haben zwei Geraden und möchten den gemeinsamen Punkt finden; das heißt, den Schnittpunkt der Geraden bestimmen. Um solche Probleme zu lösen, müssen wir ein Gleichungssystem lösen. Um dies besser zu verstehen, betrachten wir das folgende Beispiel.

Betrachten wir die folgenden Geraden:

L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1

L_2 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9

Wo schneiden sich diese beiden Geraden?

Um dies zu lösen, gehen wir wie folgt vor:

Daher ist der Schnittpunkt der beiden Geraden (x,y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right).

Beispiel für Anwendungsaufgaben zur Schnittpunktberechnung von Geraden

Für eine Feier wurden insgesamt 600 Eintrittskarten verkauft und ein Gesamtumsatz von \$1.300.000 erzielt. Die Eintrittskarten für Jugendliche kosteten \$1.000, und die Eintrittskarten für Erwachsene \$3.000. Wie viele Erwachsene und wie viele Jugendliche besuchten die Feier? [LÖSUNG]