Die reellen Zahlen zusammen mit anderen Zahlenmengen, die wir in diesem Unterricht untersuchen werden, werden durch die Erweiterung der natürlichen Zahlen eingeführt. Es ist der Fall, dass man mit beliebigen zwei natürlichen Zahlen nicht immer Subtraktionen oder Divisionen durchführen kann, und diese Erweiterungen sollen dieses Problem beheben.

Während dieses Kurses werden wir die Operationen und Eigenschaften der natürlichen Zahlen überprüfen und auf dieser Grundlage zur Konstruktion aller übrigen Zahlenmengen voranschreiten, bis wir die reellen Zahlen erreichen und darüber hinaus.

Eigenschaften der natürlichen Zahlen

Wenn wir die Operationen mit natürlichen Zahlen betrachten, beziehen wir uns hauptsächlich auf die Addition und die Multiplikation sowie auf ihre jeweiligen inversen Operationen. Im Folgenden werden diese Eigenschaften zusammengefasst:

Gegeben a,b,c\in\mathbb{N}, gilt:

Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen

Der erste zu beachtende Aspekt ist, dass im Falle der Summen: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N}), während für die Subtraktionen: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b). Es entsteht ein Problem, wenn die Subtraktion zwischen zwei natürlichen Zahlen a und b keinen Sinn ergibt, wenn a\leq b; um diese Situation zu beheben, werden die natürlichen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen erweitert, in der Subtraktionen dieser Art einen wohldefinierten Wert annehmen. Wir bezeichnen diese neue Menge der ganzen Zahlen mit dem Buchstaben \mathbb{Z}; sie besteht aus allen natürlichen Zahlen, ihren additiven Inversen und der Null.

\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}

Die ganzen Zahlen erben alle Eigenschaften und Operationen der natürlichen Zahlen, mit einer Erweiterung der zweiten Eigenschaft, und es werden die Begriffe des inversen und des neutralen Elements eingeführt.

Das Element b=-a nennen wir das additive Inverse von a.

Der Sprung zu den rationalen Zahlen

An dieser Stelle ist die einzige Operation, die noch nicht korrekt definiert ist, die Division. Um dies zu lösen, werden wir die Menge der ganzen Zahlen zur Menge der rationalen Zahlen erweitern, die durch die folgende Menge gegeben ist:

\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}

Damit erhält man eine neue Eigenschaft

Mit diesen Zahlen, Operationen und Eigenschaften werden neue Operationen samt ihren Eigenschaften definiert. Darin wird die n-te Potenz einer rationalen Zahl q wie folgt definiert

q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;veces}; mit n\in\mathbb{N}

q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}

Beachten wir, dass wir daraus, und solange q\neq 0, sagen können, dass

q^0 = 1

Außerdem werden, wann immer Divisionen durch Null auftreten, für zwei beliebige rationale Zahlen a,b und zwei ganze Zahlen n,m die folgenden Eigenschaften erfüllt:

Reelle und irrationale Zahlen

So wie die Subtraktion (die Umkehrung der Addition) und die Division (die Umkehrung des Produkts) es erforderlich machten, die natürlichen Zahlen jeweils auf die ganzen und die rationalen zu erweitern, um wohldefinierte Operationen zu formen, geschieht Ähnliches bei den Potenzen. Die inverse Operation zur n-ten Potenz ist die n-te Wurzel.

Definition der Wurzel

Sei n eine ganze Zahl größer als 1 und p,q seien beliebige rationale Zahlen; die n-te Wurzel von q wird wie folgt definiert:

Zusammengefasst ist die n-te Wurzel von q eine Zahl p, so dass sie, wenn sie zur n-ten Potenz erhoben wird, die Zahl q zurückgibt. In diesen Fällen, wenn n=2, schreiben wir zur Vereinfachung \sqrt{q} anstelle von \sqrt[2]{q}.

Das Auftreten der irrationalen Zahlen

An diesem Punkt fragen wir uns ob die n-te Wurzel für alle Elemente von \mathbb{Q} wohldefiniert ist? Die Wahrheit ist, dass, obwohl es nicht so offensichtlich ist (im Vergleich zu dem, was wir bei Subtraktion und Division gesehen haben), es rationale Zahlen gibt, die keine rationale n-te Wurzel besitzen. Um dies zu sehen, genügt es, das folgende Beispiel zu betrachten:

\sqrt{2} ist keine rationale Zahl.

BEWEIS

Wir werden dies durch einen Widerspruchsbeweis zeigen.

Angenommen, \sqrt{2} sei eine rationale Zahl, das heißt, es existieren p,q\in\mathbb{Z} mit q\neq 0, so dass \sqrt{2}=p/q, und der Bruch ist vollständig gekürzt. Dann können wir sagen, dass

2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2

Das steht aber im Widerspruch zu der Tatsache, dass p/q in irreduzibler Form geschrieben war (nun stellt sich heraus, dass (p/q)^2 gekürzt werden kann und sein Ergebnis 2 ist). Da die Annahme, dass \sqrt{2} rational ist, einen Widerspruch erzeugt, kann diese Zahl keine rationale Zahl sein und wir sagen folglich, dass sie irrational ist.

Die Erweiterung zu den reellen Zahlen

Diese Ergebnisse machen deutlich, dass, um die n-te Wurzel korrekt zu definieren, es notwendig ist, die rationalen Zahlen zu einer neuen Menge zu erweitern, nämlich der Menge der reellen Zahlen, die wir mit \mathbb{R} bezeichnen und die sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen enthält

\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*

Die Komplexen: Der algebraische Abschluss der reellen Zahlen

An diesem Punkt müssen wir zwei Dinge beachten: (1) wenn n gerade ist, wird die n-te Wurzel mehrwertig, und (2) wenn wir außerdem versuchen, \sqrt[n]{q} mit q\lt 0, zu berechnen, werden wir sehen, dass eine solche Zahl keine reelle Zahl sein kann.

Das erste wird gelöst, indem man die Hauptwurzel definiert und eine kleine Änderung am Punkt (17) vornimmt, der über die Definition der Wurzel spricht, und zwar wie folgt:

Das zweite wird erreicht, indem die Menge der reellen Zahlen zur Menge der komplexen Zahlen \mathbb{C}, erweitert wird; aber dieser Aufbau bleibt für später.