Prima Appropinquatio ad Coniuncta Numerica: A Naturalibus ad Complexos
Summarium:In hac lectione perscrutabimur quomodo numeri naturales uti possint fundamentum ad aliorum coniunctuum numerorum constructionem ut certas limitationes operationum superare valeant. Incipiemus a numeris integris, qui nobis permittunt subtractiones late perficere. Deinde progrediemur ad numeros rationales, qui instrumentum divisionis plene praebent. Postea in numeros reales penitus ingrediemur ut radicibus n-nesimis operari possimus, atque commemorabimus quomodo numeri complexi introducantur ad specifica n-nesimarum radicum casus tractandos. Per hos progressus intelligetur quomodo unumquodque novum coniunctum numericum oritur ad quaestiones prioris intrinsecas solvendas.
Objectiva Discendi:
Lectione hac confecta discipulus poterit:
- Identificare proprietates fundamentales numerorum naturalium, integrorum et rationalium.
- Interpretari proprietates et operationes fundamentales quae heredantur vel mutantur dum ab uno coniuncto numerorum ad aliud transitur.
- Comparare proprietates diversorum coniunctuum numerorum et quomodo inter se connexae sint.
Index Contentorum
Introductio
Proprietates Numerorum Naturalium
Transitus e Numeris Naturalibus ad Integros
Saltus ad Numeros Rationales
Numeri Reales et Irrationales
Complexi: Clausus Algebraicus Numerorum Realium
Introductio
Numeri reales, una cum aliis coniunctis numerorum quae in hac lectione explorabimus, introducuntur per extensionem numerorum naturalium. Contingit enim ut, cum duobus numeris naturalibus quibuscumque, non semper fieri possit operationes subtractionis aut divisionis efficere, et hae ampliationes ad hoc incommodum removendum destinatae sunt.
In hac lectione recensibimus operationes et proprietates numerorum naturalium, et hac in fundamentali, procedemus ad structuram omnium reliquorum coniunctuum numerorum, usque ad numeros reales et ultra.
Proprietates Numerorum Naturalium
Cum operationes cum numeris naturalibus tractamus, maxime ad summam et productum cum suis respectivis operationibus inversis referimus. Infra hae proprietates breviantur:
Cum a,b,c\in\mathbb{N}, verificatur:
| 1. | a + b = b + a |
| 2. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b)\pm c (en el caso de la resta, es válida siempre que esté bien definida) |
| 3. | a\cdot b = b \cdot a |
| 4. | a\cdot(b\cdot c)= (a\cdot b)\cdot c |
| 5.\;\;\;\; | a\cdot b = a \leftrightarrow b=1 |
| 6. | \displaystyle \frac{a}{b}\in\mathbb{N} \leftrightarrow (\exists k\in\mathbb{N})(a=b\cdot k) |
| 7. | a\cdot(b+c)=a\cdot b + a \cdot c |
Transitus e Numeris Naturalibus ad Integros
Primum quod animadvertendum est est in casu additionum: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N}), dum pro subtractionibus: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b). Incommodum oritur cum subtractio inter duos numeros naturales a et b sensum non habet si a\leq b; ad hanc rem emendandam, numeri naturales extenduntur ad coniunctum numerorum integrorum, ubi huiusmodi subtractiones valor bene definitus accipiunt. Hoc novum coniunctum numerorum integrorum littera \mathbb{Z} denotamus, quod ex omnibus numeris naturalibus, eorum inversis additivis atque zero constat.
\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}
Numeri integri omnes proprietates et operationes numerorum naturalium heredant, cum extensione super secundam proprietatem, et notiones inversi et elementi neutri additivi introducuntur.
| 2*. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b) \pm c |
| 8. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=0 \leftrightarrow b=-a) |
| 9. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=a \leftrightarrow b=0) |
Elementum b=-a illud vocamus inversum additivum a.
Saltus ad Numeros Rationales
Hoc loco sola operatio quae recte definire nondum possumus est divisio. Ad hoc solvendum expansionem perficemus de coniuncto numerorum integrorum ad coniunctum numerorum rationalium, quod hisce definietur:
\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}
Hoc fit ut nova proprietas accedat
| 10. | (\forall a \in \mathbb{Q}\setminus\{0\})(\exists ! b \in \mathbb{Q}) \left[(a\cdot b = 1) \leftrightarrow \left( b = \displaystyle \frac{1}{a} = a^{-1} \right)\right] |
| Omnis rationalis non nullus inversum multiplicativum habet. Inversum multiplicativum a est a^{-1} | |
Cum his numeris, operationibus et proprietatibus novae operationes cum proprietatibus definiuntur. In his definitur potestas n-nesima rationis q per
q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;veces}; cum n\in\mathbb{N}
q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}
Animadvertamus quod, ex hoc, et quoties q\neq 0, dicere possumus quod
q^0 = 1
Praeterea, quoties divisiones per nullum occurrant, datis duobus rationalibus quibusvis a,b, et duobus integris n,m, sequentia verificabuntur:
| 11. | a^n \cdot a^m = a^{n+m} |
| 12. | (a^n)^m = a^{n\cdot m} |
| 13. | (a\cdot b)^n = a^{n} \cdot a^{m} |
| 14. | \left(\displaystyle \frac{a}{a}\right)^n = \frac{a^n}{a^n} |
| 15. | \displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} = \frac{1}{a^{m-n}} |
Numeri Reales et Irrationales
Sicut operatio subtractionis (inversa additionis) et divisio (inversa producti) necessarium reddiderunt naturales ad integros et rationales, respective, extendere ut operationes bene definiretur, similiter accidit cum potentiis. Operatio inversa n-esimae potestatis est radix n-esima.
Definitio Radicis
Sit n integer maior quam 1 et p,q numeri rationales quilibet, definitur radix n-esima q, quam per sequentes regulas repraesentamus:
| 16. | q=0 \rightarrow \sqrt[n]{q} = 0 |
| 17. | q \gt 0 \rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
| 18. | \left[ q \lt 0 \wedge n {\;es\;impar} \right]\rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
Summatim, n-esima radix q est numerus p talis ut, cum ad n elevatur, numerum q reddat. His in casibus, cum n=2, loco \sqrt[2]{q} scribendi, simpliciter scribimus \sqrt{q}.
Apparitio Numerorum Irrationalium
Huc usque progressi nos interrogamus Numne radix n-nesima omnibus elementis \mathbb{Q} bene definita erit? Verum est, quamvis non tam evidens (comparatum cum eo quod in subtractione et divisione visum est), exsistere rationales qui radicem n-nesimam rationalem non habent. Ut hoc videamus sufficit sequentem exemplum considerare:
\sqrt{2} non est numerus rationalis.
DEMONSTRATIO
Hoc per reductionem ad absurdum probabimus.
Supponamus \sqrt{2} numerum rationalem esse, id est, existere p,q\in\mathbb{Z}, cum q\neq 0, tales ut \sqrt{2}=p/q, et praeterea fractionem esse ad formam irreducibilem redactam. Si sic facimus tunc dicere possumus quod
2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2
Sed hoc in contradictionem incidit cum eo quod p/q in forma irreducibili scriptum erat (nunc enim constat (p/q)^2 simplificari posse et eius exitum esse 2). Quia supponere \sqrt{2} rationalem esse contradictionem gignit, ergo hic numerus rationalis esse non potest et, consequenter, irrationale est.
Expansio ad Numeros Reales
Haec eventa in lucem ponunt quod, ut radicem n-nesimam recte definiamus necesse est rationales ad novum coniunctum extendere, hoc est coniunctum numerorum realium, quod \mathbb{R} denotamus et quod tam rationales quam irrationales continet
\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*
Complexi: Clausula Algebraica Numerorum Realium
Hoc loco duo animadvertenda sunt: (1) cum n par est, radix n-nesima multiplicem valorem habet et, (2) si insuper conamur computare \sqrt[n]{q} cum q\lt 0,, videbimus talem numerum numerum realem esse non posse.
Primum solvitur definiendo la radicem principalem levem mutationem in articulo (17) de definitione radicis applicando, ita ut res sic se habeat:
| 17*. | q\gt 0 \rightarrow \left[ 0\lt p=\sqrt[n]{q} \leftrightarrow p^n=q \right] |
Secundum obtinetur ampliando coniunctum realium ad coniunctum numerorum complexorum \mathbb{C}, sed haec constructio in posterum reservabitur.