Was sind Einheiten und physikalische Dimensionen?

Die präzise Definition einer physikalischen Dimension kann komplex sein. Wir können jedoch verstehen, dass sich die Physik mit Größen befasst, die messbar sind. Diese physikalischen Größen werden nach ihrer Dimension klassifiziert und durch den Vergleich mit Standard-Einheiten quantifiziert. Es gibt zwei Hauptkategorien von Einheiten: die basalen, wie Meter oder Kilogramm, und die abgeleiteten, die aus den Basiseinheiten durch algebraische Operationen gebildet werden. Die folgende Tabelle zeigt einige der Basiseinheiten und ihre entsprechenden physikalischen Dimensionen.

Es ist ein häufiger Fehler, physikalische Größen direkt mit physikalischen Dimensionen gleichzusetzen. Diese Zuordnung gilt für Größen, die mit Basiseinheiten wie Masse oder Zeit gemessen werden. Wenn es jedoch um Größen geht, die abgeleitete Einheiten verwenden, wie die Kraft, ist die Beziehung nicht direkt. Die Kraft hat beispielsweise keine eigene Dimension; sie setzt sich vielmehr aus anderen grundlegenden Dimensionen zusammen.

Basiseinheiten, abgeleitete Einheiten und ihre physikalischen Dimensionen

Jede Basiseinheit entspricht einer einzigen physikalischen Dimension wie Masse, Länge oder Zeit. Die Dimensionen der abgeleiteten Einheiten resultieren aus dem algebraischen Produkt der Dimensionen der Basiseinheiten. Sehen wir uns einige Beispiele an:

• Die Fläche ergibt sich aus dem Produkt zweier Längen und hat daher die Dimension L^2; sie wird in Quadratmetern (m^2) gemessen.
• Das Volumen, das aus drei Längen oder einer Fläche multipliziert mit einer Länge entsteht, hat die Dimension L^3 und wird in Kubikmetern (m^3) gemessen.
• Die Geschwindigkeit, definiert als Wegstrecke durch Zeit, besitzt die Dimension LT^{-1} und wird in Metern pro Sekunde (m/s) angegeben.
• Die Beschleunigung wird als Geschwindigkeit durch Zeit berechnet, hat die Dimension LT^{-2} und wird in Metern pro Quadratsekunde (m/s^2) gemessen.
• Die Kraft ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung und besitzt die Dimension MLT^{-2}. Sie wird üblicherweise in Newton (N) gemessen, dargestellt durch die Formel:

  \displaystyle N = \frac{kg \cdot m}{s^2}

In ähnlicher Weise lassen sich viele andere physikalische Größen und Dimensionen ableiten.

Observablen, Größen und physikalische Einheiten

Wir werden die eingeführten Konzepte weiter entwickeln. Eine beobachtbare Größe, oder kurz „Observable“, nennen wir jede Eigenschaft oder jedes Phänomen, das messbar ist, wie Farbe, Länge, Zeit, Volumen oder Härte.

Observablen werden in zwei Kategorien unterteilt: vergleichbare und nicht vergleichbare. Vergleichbare Observablen sind solche, die eine quantitative Beziehung herstellen können, zum Beispiel, wenn die Länge eines Balkens ein Vielfaches der Länge eines Stiftes ist. Demgegenüber können wir die Farbe nicht vergleichend quantifizieren; so ist die Länge eine vergleichbare Observable, die Farbe hingegen nicht.

Algebra vergleichbarer Observablen

Die Logik hinter vergleichbaren Observablen basiert auf den Prinzipien der Gleichheit und der Addition:

• Kriterium der Gleichheit: Zwei vergleichbare Observablen sind gleich, wenn der Quotient zwischen der einen und der anderen eins ist (\frac{A}{B} = 1).
• Kriterium der Addition: Wenn wir drei vergleichbare Observablen A, B und C in Beziehung zu einer vierten O haben und die Proportionen \frac{A}{O} = n_1, \frac{B}{O} = n_2 und \frac{C}{O} = n_3 erfüllt sind, dann sagen wir, dass A + B = C, wenn und nur wenn n_1 + n_2 = n_3.

Mit diesen Prinzipien lässt sich zeigen, dass vergleichbare Observablen den algebraischen Gesetzen der Assoziativität, Distributivität und Kommutativität folgen.

Maßeinheiten und physikalische Größen

Eine Maßeinheit ist eine ausgewählte vergleichbare Observable, die als Bezug dient, um Vergleiche mit anderen Observablen derselben Dimension anzustellen. Wenn zwei Observablen, A und U_A, vergleichbar sind, existiert eine reelle Zahl \alpha, sodass A gleich \alpha mal der Maßeinheit U_A ist.

A = \alpha U_A

Zum Beispiel, wenn die Länge eines Balkens 3 Meter beträgt, schreiben wir, dass die Länge des Balkens 3 [m] ist. Der Zahlenwert einer Messung variiert je nach verwendetem Einheitensystem, was bedeutet, dass der Balken, der 3 Meter misst, einen ungefähren Wert von 118,11 hat, wenn er in Zoll gemessen wird.

Umrechnung von Maßeinheiten

Wie wir gesehen haben, können wir eine Observable in verschiedenen Einheiten messen, sofern sie dieselbe Dimension teilen. Wenn A eine Observable ist und U_1 und U_2 zwei Einheiten derselben Dimension sind, existieren zwei reelle Zahlen \alpha_1 und \alpha_2, die entsprechen.

A = \alpha_1 U_1 und A = \alpha_2 U_2

Daher ermöglicht der Umrechnungsfaktor \gamma^2_1 = \alpha_2 / \alpha_1, die Einheit U_2 in U_1 umzuwandeln, und umgekehrt mit \gamma^1_2 = \alpha_1 / \alpha_2. Zum Beispiel entspricht eine Stange, die 5 Zoll lang ist, 0{,}127 Metern, was einen Umrechnungsfaktor von 0{,}0254 Metern pro Zoll ergibt.

Vektorgrößen

Wir haben Observablen betrachtet, die mit einer einzigen Größe beschrieben werden. Es gibt jedoch Observablen wie die Position im Raum, die mehrere Größen für eine vollständige Beschreibung erfordern. Diese werden als Vektorgrößen bezeichnet und mit mehreren Werten dargestellt. Zum Beispiel wird ein Objekt, das sich 3 Meter nach rechts, 5 Meter nach vorne und 2 Meter nach oben befindet, als (3, 5, 2) Meter dargestellt.

{position} = (3, 5, 2)

Diese Größen profitieren von der Vektoralgebra, was ihre Handhabung und Anwendung in physikalischen Formeln vereinfacht. Ein gängiges Beispiel ist die Kraft, dargestellt als Vektor mit Betrag und Richtung, die in vielen physikalischen Gleichungen wesentlich ist.

Empfohlene Lektüre

Internationales System der Gewichte und Maße: https://www.cem.es/sites/default/files/siu8edes.pdf

Leitfaden für die Verwendung des Internationalen Einheitensystems (SI): https://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf

Englisches Einheitensystem: https://web.archive.org/web/20060427072134/http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/sistema_ingles.html