Deterministische und indeterministische Prozesse, Wahrscheinlichkeiten und Zufall
Zusammenfassung
In diesem Einführungskurs in die Wahrscheinlichkeitstheorie untersuchen wir die Verbindung zwischen deterministischen und indeterministischen Prozessen und ihre Beziehung zu Wahrscheinlichkeiten und dem Zufall. Wir werden sehen, wie Prozesse in der Natur in zwei sich gegenseitig ausschließende Arten eingeteilt werden und wie man versucht, sie durch deterministische und indeterministische Modelle zu verstehen. Außerdem werden wir untersuchen, wie der Mangel an Kontrolle über die Umgebung und die Anfangsbedingungen zu indeterministischen Prozessen und zur Notwendigkeit führt, mit einer Vielzahl möglicher Zustände umzugehen. Schließlich werden wir das Thema Zufall und Wahrscheinlichkeiten anhand des Beispiels des Münzwurfs behandeln und erläutern, wie das Verständnis der Wahrscheinlichkeit aus Experimenten mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gewonnen wird.
LERNZIELE:
Nach Abschluss dieser Einheit werden die Lernenden in der Lage sein:
- zu verstehen, was Modelle sind und wie sie mit deterministischen und indeterministischen Prozessen zusammenhängen.
- zu verstehen, wie der Zufall mit indeterministischen Prozessen verknüpft ist.
- die notwendigen Bedingungen zu identifizieren, damit ein Prozess als zufällig gilt.
- gleich wahrscheinliche Ergebnisse zu identifizieren und zu verstehen, wie sie zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit verwendet werden.
INHALTSVERZEICHNIS
GRUNDLAGEN
DETERMINISTISCHE UND INDETERMINISTISCHE PROZESSE IN DER NATUR
WAHRSCHEINLICHKEITEN UND ZUFALL
Grundlagen
Um unser Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie zu beginnen, müssen wir zunächst die Verbindung zwischen deterministischen und indeterministischen Prozessen und ihre Beziehung zu Wahrscheinlichkeiten und dem Zufall untersuchen. Prozesse, die in der Natur stattfinden, lassen sich in zwei sich gegenseitig ausschließende Arten einteilen: Sie sind entweder deterministisch oder indeterministisch. Ein deterministischer Prozess ist einer, der bei gegebenen Anfangsbedingungen immer zu denselben Ergebnissen führt. Ein Prozess ist hingegen indeterministisch, wenn er bei denselben Anfangsbedingungen eine Vielzahl möglicher Ergebnisse liefern kann. Diese möglichen Ergebnisse, unabhängig davon, ob sie einzigartig oder mehrfach sind, werden auch als Zustände bezeichnet. Man versucht, Prozesse durch Modelle zu verstehen, und diese Modelle sind analog dazu deterministisch oder indeterministisch.
Im Kontext indeterministischer Prozesse entsteht das Studium der Wahrscheinlichkeiten. Dies ist eine formale Wissenschaft (wie die Logik), mit der wir Informationen darüber gewinnen können, wie häufig ein indeterministischer Prozess dazu neigt, einen bestimmten Zustand oder eine Menge von Zuständen hervorzubringen.
Deterministische und indeterministische Prozesse in der Natur
Angenommen, wir wollen den Vorgang des Abschusses eines Projektils modellieren. Befinden wir uns in einer kontrollierten Umgebung, so zeigt uns die newtonsche Mechanik, dass für jede Anfangsgeschwindigkeit und -position das Projektil an einer bestimmten Stelle einschlagen wird; dies stellt ein deterministisches Modell der Realität dar. In der realen Welt existieren jedoch keine absolut kontrollierten Umgebungen, und wir werden sehen, dass das Projektil dazu neigt, in einer bestimmten Region zu landen, was eine Vielzahl möglicher Zustände impliziert.
Im Allgemeinen sagt man, dass unsere Begrenzungen beim Kontrollieren und Messen sowohl der Umgebung als auch der Anfangsbedingungen es uns nicht erlauben, die Endzustände eines Systems zu bestimmen, was uns zwingt, mit einer Vielzahl von Zuständen und mit nicht deterministischen Modellen umzugehen. Je komplexer ein Prozess wird, desto größer wird auch der Mangel an Kontrolle über die Umgebung und die Anfangsbedingungen.
Wahrscheinlichkeiten und Zufall
Der Zufall ist eine inhärente Eigenschaft indeterministischer Prozesse. Ein Prozess wird als zufällig oder stochastisch bezeichnet, wenn bei einem bestimmten Satz von Anfangsbedingungen keiner der möglichen Zustände häufiger aufzutreten scheint als die anderen. Das einfachste Beispiel ist der Wurf einer Münze. Mit zunehmender Anzahl der Würfe beobachtet man, dass die Häufigkeit, mit der Kopf und Zahl erscheinen, ähnlich zu werden scheint. Anders ausgedrückt:
\displaystyle \lim_{N\to \infty} \dfrac{C}{N} = \lim_{N\to \infty} \dfrac{S}{N} = \dfrac{1}{2}
wobei N die Gesamtzahl der Würfe ist und C und S die Anzahl der Köpfe und der Zahlen unter den N Würfen darstellen.
Diese Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, Kopf oder Zahl zu erhalten, und ihr Verständnis ergibt sich aus der Analyse von Experimenten mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Dies ist das Wesentliche deterministischer und indeterministischer Prozesse und ihrer Beziehung zu Wahrscheinlichkeiten und dem Zufall.