Pression des fluides au repos

Que savons-nous sur la pression d’un fluide au repos ? Nous savons que, si on le place dans un récipient, étant donné que la relation P=F/A, est respectée et en raison de son poids, il y aura une pression en chaque point à l’intérieur du fluide en fonction de la profondeur.

La pression d’un fluide au repos en un point donné est directement proportionnelle à sa profondeur. Nous le savons grâce à l’expression :

P = \rho g h

Où \rho est la densité du fluide, g est l’accélération due à la gravité et h est la profondeur.

Nous pouvons le démontrer en immergeant un cylindre imaginaire avec une base horizontale de surface A à une profondeur h dans le fluide.

Nous verrons que le disque sera comprimé par le poids du fluide situé au-dessus et par la force normale appliquée en dessous, qui est égale et opposée au poids (car nous supposons que le système est au repos).

Dérivation de la formule de la pression d’un fluide au repos : {P=\rho g h}

Le fluide forme au-dessus du corps immergé un autre cylindre avec la même surface de base A, mais avec une hauteur h, et il en résulte un volume.

V=A h

D’où nous pouvons déduire que

\displaystyle A=\frac{V}{h}

Si la densité du fluide est \rho, alors la masse du fluide qui presse sur le disque est m=\rho V, et elle exerce une force de poids

F_p=m g = \rho V g

De même, la force normale est appliquée sur la face inférieure du cylindre avec la même magnitude mais dans le sens opposé.

Puisque le poids et la force normale sont verticaux, ils n’exercent pas de pression sur les côtés latéraux du cylindre.

Si nous considérons le cylindre suffisamment plat et léger, alors son poids n’ajoutera rien qui devrait être compensé par la force normale, et tout effet sur les côtés sera négligeable par rapport au reste. Ainsi, la force totale sur le corps sera :

F_{total}=F_p + F_n = 2\rho V g

Le « + » dans cette force signifie que les forces sont orientées vers la surface.

Ainsi, la pression sur le corps immergé sera :

\displaystyle P = \frac{F_{total}}{A_{inférieure}+A_{supérieure}}=\frac{2 \rho V h}{2A} = \frac{\rho V g}{\frac{V}{h}} = \rho g h

Cela montre que la pression exercée par un fluide (au repos) est la même à tous les points de la même profondeur. Cela s’applique aussi bien aux liquides qu’aux gaz (tant qu’ils sont au repos), ce qui signifie que, si l’on considère la colonne d’air au-dessus de nous, nous pouvons également parler de « pression atmosphérique ».

La pression atmosphérique au niveau de la mer est

P_{atm} = 1[atm] = 101.325,0 [Pa] = 760 [Torr]=0.981[barr].

Nous devons nous rappeler que 1[Pa] = 1[N/m^2].

En combinant la pression atmosphérique avec la pression exercée par un fluide en raison de son propre poids, nous obtenons la pression hydrostatique

P = P_{atm} + \rho g h

Pression relative

Lorsque nous mesurons la pression, nous sommes généralement immergés dans un milieu. Parfois, la pression du milieu est pertinente, et d’autres fois, elle ne l’est pas autant. Par exemple, lorsque vous mesurez la pression des pneus de votre voiture, vous ne vous souciez pas d’ajouter la pression atmosphérique, car ce qui compte réellement pour leur bon fonctionnement, c’est la différence de pression entre l’intérieur du pneu et l’environnement extérieur :

Si elle est trop élevée, le pneu est surgonflé ; et si elle est trop basse, le pneu est dégonflé.

C’est pourquoi nous avons différentes façons de parler de la pression.

Pression atmosphérique

Nous en avons déjà parlé auparavant, et c’est la pression propre au milieu dans lequel nous sommes immergés. Par exemple, dans l’Himalaya, la pression atmosphérique peut être jusqu’à un tiers de celle au niveau de la mer. Elle est généralement représentée par P_{atm} ou P_{0}.

Pression absolue

Lorsque nous considérons la pression obtenue par la somme de toutes les forces agissant sur un corps, nous parlons de pression absolue. La pression hydrostatique que nous avons examinée plus tôt est une forme de pression absolue, car elle tient compte de la somme des pressions dues au poids du liquide + la pression exercée par l’atmosphère. Une autre manière d’exprimer la pression absolue est de la définir comme « la pression par rapport au vide ». Elle est représentée par P_{abs}.

Pression manométrique et pression de vide

Lorsque nous mesurons la pression des pneus d’un véhicule, à la fois le pneu et l’instrument de mesure sont soumis à la pression atmosphérique. Pour cette raison, ce que l’instrument mesure réellement est la différence de pression entre l’intérieur et l’extérieur. Cette pression est appelée « pression manométrique », elle est représentée par P_{man}, et elle satisfait la relation suivante :

P_{man} = P_{abs} - P_{atm}

La pression que nous mesurons en tenant compte uniquement du poids d’un fluide est un exemple de pression manométrique. Si la pression absolue est supérieure à la pression atmosphérique, nous mesurons la pression manométrique ; sinon, nous mesurons la pression de vide P_{vac}, qui est définie de manière similaire :

P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}

Cela se produit, par exemple, lorsque vous retirez l’air d’une seringue, fermez l’entrée/sortie d’air, puis tirez sur le piston ; la pression atmosphérique tentera de repousser le piston, et la pression à l’intérieur de la seringue sera, par conséquent, une pression de vide.

Exemples pratiques

Un homme vient de construire une piscine de 39[pieds] de long, 26[pieds] de large et 5,2[pieds] de profondeur, et il se pose les questions suivantes :

1. Il a acheté une pompe pour la piscine, mais ce n’est qu’en arrivant chez lui qu’il a pensé à vérifier les spécifications du fabricant. Celles-ci indiquent que la pression manométrique ne doit pas dépasser 0,193[atm]. Peut-il installer la pompe au fond de sa piscine ?
2. Non content d’avoir oublié les spécifications de la pompe, cet homme a un problème auditif. Ses tympans ne peuvent pas supporter une force supérieure à 10[N]. Si ses tympans ont un diamètre de 1[cm], presque parfaitement circulaires, pourra-t-il plonger en toute sécurité au fond de sa piscine ?

SOLUTION :

1. 1. Dans ce cas, la pression manométrique au fond de la piscine peut être déterminée comme étant celle exercée uniquement par l’eau de la piscine. Par conséquent, à partir de la formule de la pression d’un fluide au repos, nous aurons :

      P_{man} = \rho g h

      En prenant la densité de l’eau \rho=997[kg/m^3], la profondeur convertie en mètres h=5.2[pieds] = 5.2\cdot 0.3048[m], et l’accélération due à la gravité g=9.81[m/s^2], nous obtenons que la pression manométrique au fond de la piscine sera :

      P_{man} =997[kg/m^3]\cdot 9.81[m/s^2] \cdot5.2\cdot 0.3048[m] \approx 15.501,81[Pa]

      Mais 1[atm] = 101.325[Pa], donc

      \displaystyle P_{man} \approx \frac{15.501,81}{101.325}[atm]\approx 0.1523[atm]

      Donc, oui. Comme la pression manométrique au fond de la piscine est inférieure à 0,193[atm], spécifiée par le fabricant comme limite pour le bon fonctionnement de la pompe, celle-ci fonctionnera correctement et l’homme n’a pas gaspillé son argent.

   2. Dans la partie précédente, nous avons déjà calculé la pression manométrique au fond de la piscine, mais maintenant nous devons calculer la pression totale. Il n’y a pas de problème avec cela, nous devons simplement nous rappeler que :

P_{total} = P_{man} + P_{atm}

et nous avons déjà les deux valeurs. Cela nous donne :

P_{total} \approx 15.501,81[Pa] + 101.325[Pa] = 116.286,81[Pa]

Maintenant, nous devons connaître la surface du tympan de cet homme. Comme le tympan est approximativement circulaire, nous avons :

\displaystyle A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

J’ai ici exprimé la surface du cercle en fonction du diamètre d, qui mesure 1[cm]. Donc :

\displaystyle A \approx \frac{3.14 \cdot 1[cm^2]}{4} = \frac{3.14 \left[\frac{m}{100}\right]^2}{4} = \frac{3.14}{4\cdot 10.000}[m^2]=0.785\cdot 10^{-4}[m^2]

Enfin, puisque P=F/A, la force totale appliquée par la pression au fond de la piscine sur le tympan de cet homme sera :

F=PA\approx 116.826,81[Pa] \cdot 0.785\cdot 10^{-4}[m^2] \approx 9.17[N]

Comme elle n’excède pas 10[N], il pourra plonger sans problème au fond de la piscine. Cet homme a de la chance.