Ecuación de las Hipérbolas y su Deducción
Resumen:
En esta clase exploraremos la definición geométrica de la hipérbola, contrastándola con la elipse, y deduciremos su ecuación general y canónica.
Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de
- Definir geométricamente qué es una hipérbola.
- Deducir la ecuación general y canónica de las hipérbolas a partir de su definición geométrica.
- Identificar las diferencias entre las elipses y las hipérbolas en términos de las distancias focales.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Definición geométrica de Hipérbola
Deducción de la Ecuación de las Hipérbolas
Ecuación General de las Hipérbolas
Ecuación Canónica de las Hipérbolas
Definición geométrica de Hipérbola
Anteriormente revisamos la ecuación de las elipses y circunferencias y descubrimos tienen la forma ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0, donde a y a son dos cantidades distintas de cero y con el mismo signo. Sobre esto se comentó que si a y b tienen signos opuestos, entonces en lugar de una elipse se tendrá una Hipérbola. Nada más dijimos sobre estas curvas y ahora llenaremos ese vacío. Completaremos nuestro estudio definiendo qué es geométricamente una hipérbola y, a partir de esto, obtendremos la ecuación general y canónica de las hipérbolas.
Por un lado tenemos que la elipse se define como el conjunto de todos los puntos tales que la suma de su distancia respecto a otros dos puntos que llamamos focos es siempre el mismo valor. De un modo similar, y en contra posición, la hipérbola se define como la colección de todos los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias desde los puntos focales es siempre el mismo valor.
Es decir, se satisface la relación
|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a
Donde a es un número real fijo cualquiera.
Esto produce en realidad dos ecuaciones, a saber: d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a y d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a, una para cada rama de la hipérbola.
Deducción de la Ecuación de las Hipérbolas
A partir de la definición geométrica es posible obtener la representación algebraica de las hipérbolas, para esto iniciaremos desde el caso más sencillo, y desde ahí extenderemos las generalizaciones. Nuestro razonamiento se realizará para una sola rama de la hipérbola, el razonamiento para la otra rama es completamente análogo.
Deducción de la Forma simplificada
Consideremos dos puntos focales f_1 = (-c,0) y f_2 = (c,0). El punto p = (x,y) estará contenido en la hipérbola si
\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a
Y desde ahí se tiene el siguiente razonamiento:
| \sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a | ; ecuación de las hipérbolas |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a | ; expendiendo los cuadrados |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; redistribuyendo términos |
| \color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} | ; elevando al cuadrado ambos lados |
| 2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc | ; Matando términos semejantes |
| 4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; redistribuyendo términos semejantes |
| xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; Simplificando términos semejantes |
| xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; simplificando términos semejantes |
| x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2) | ; elevando al cuadrado a ambos lados |
| x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2 | ; operando paréntesis |
| x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2 | ; matando términos semejantes |
| x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2) | ; reagrupando términos |
| \displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1 | ; reagrupando términos |
Para esta última expresión, al igual que para las elipses, se toma b^2=c^2-a^2 y se llega a la ecuación de las elipses
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }
Ecuación General de las Hipérbolas
Para obtener la ecuación general de las hipérbolas, basta con tomar la que acabamos de obtener y aplicar las transformaciones de posición
| x\longmapsto x-h |
| y\longmapsto y-k |
y con esto obtenemos de forma automática la ecuación general de las elipses de centro (h,k)
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }
Ecuación Canónica de las Hipérbolas
Y si ahora tomamos la ecuación general de las elipses y la desarrollamos, llegaremos a la expresión canónica:
| \displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 | ; Ecuación general de las hipérbolas |
| b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2 | ; resolviendo cuadrados y multiplicando todo por a^2b^2 |
| b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2 | ; resolviendo paréntesis |
| b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0 | ; Agrupando términos semejantes |
Esto último es una expresión de la forma Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0, donde A y C son siempre distintas de cero y con signos opuestos, tal y como habíamos adelantado cuando estudiábamos las elipses.