折射率

折射率定义为 介质中光速与真空中光速之比。它是一个无量纲量，通常用字母 n_k: 表示

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

其中 c 为真空中的光速，c_k 为介质 k 中的光速。

由于光在任何介质中的传播速度都比在真空中慢，因此折射率总是大于或等于1。

费马原理

光速取决于 它所传播的介质。介质的折射率越高，光在其中的传播速度越慢；与此相关，费马原理如下表述：

光从一个点传播到另一个点时，选择了使传播时间最短的路径。

即使光穿过不同介质，这一原理仍然适用。

光折射的斯涅尔定律

基于费马原理 可以形成一个优化问题，用于确定光线在不同介质中传播时的路径。最终，这引出了斯涅尔定律，我们将在下文中看到其表述和证明。

假设光线从点 A 出发，到达点 B，穿过一个将两个折射率分别为 n_1 和 n_2 的介质分开的界面。我们的目标是找到一个关系式，使我们能够根据费马最小传播时间原理计算光线的路径，为此，我们构建了以下图示：

推理从分析光线的传播时间形式开始。我们有：

\begin{array}{rl}{传播时间} & =\displaystyle \frac{{距离}}{{速度}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{介质1中的距离}}{{介质1中的速度}} + \frac{{介质2中的距离}}{{介质2中的速度}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

这样做之后，保持点 A 和 B 固定，传播时间由光线接触介质之间界面的点 x 确定。由此，我们可以定义时间函数 t(x) 为

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

现在，既然费马原理规定光线遵循使传播时间最短的路径，我们就可以从中找到使函数 t(x) 最小化的 x. 这实际上是一个优化问题。

对 t 关于 x 求导，我们得到：

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

现在注意：

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

因此，将这些替换到时间导数中，我们有：

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

最后，如果点 x 使函数 t(x) 最小化，那么导数必须为零，我们得到：

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

这就是光线在穿过两种介质时的斯涅尔折射定律，显示了入射角 \theta_1 与折射角 \theta_2 之间的关系。

光的折射、反射和全反射

我们已经看到，当光线 从一种介质进入另一种介质时，会发生折射，但通常会发生折射和反射的组合；而且根据折射率和光线的入射角，折射可能消失，只剩下反射。

假设一束光线从折射率为 n_a 的材料 a 入射到折射率为 n_b 的材料 b 中。如果 n_a \gt n_b, 根据斯涅尔定律，我们有：

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

由于 n_a/n_b \gt 1, 结果是 \sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a), 这意味着折射光线远离法线方向偏转。这意味着必然存在某个 \theta_a\lt 90^o，使得 \sin(\theta_b)=1，因此，\theta_b=90^o, 如下图所示。

使光线沿界面折射的入射角称为临界角，并满足以下关系：

\displaystyle \sin(\theta_{临界}) = \frac{n_b}{n_a}

这相当于说：

\displaystyle \theta_{临界} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

如果 \theta_a \gt \theta_{临界}, 那么就会发生全反射。

练习：

1. 考虑一束光线从水中穿过玻璃，如下图所示：
   
   水的折射率为 n_1 = 1.33, 而玻璃的折射率为 n_2=1.52. 如果一束光线从水中穿过玻璃，以相对于法线 \theta_1 = 60^o 的倾斜角度入射到分隔两种介质的界面，折射光线以 \theta_2 什么角度射出？ 解答
   使用斯涅尔定律，我们有：

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; 斯涅尔定律
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1.33	; 水的折射率
   (3)	n_2=1.52	; 玻璃的折射率
   (4)	\theta_1=60^o	; 光线在界面上的入射角
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1.33}{1.52}\sin(60^o)\right) \approx 49.268^o	; 从 (1,2,3,4) 得出，折射角

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2. 三个由两个界面分隔的液体具有以下折射率：n_1=1.33, n_2=1.41 和 n_3=1.68, 并按如下图所示排列：如果光线从折射率为 n_1 的介质进入折射率为 n_2 的介质，以 \theta_1=70^o 的角度入射到界面，折射角进入折射率为 n_3 的介质时会是多少？ 解答
   类似于前面的练习，推理如下：

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; 斯涅尔定律适用于从 n1 到 n2 的过渡
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; 斯涅尔定律适用于从 n2 到 n3 的过渡
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; 从 (1,2) 得出
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   最后，替换数据得出：

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1.33}{1.68}\sin(70^o)\right) \approx 48.0667^o
   请注意，这种推理表明我们可以只考虑光线的入射和出射介质进行计算，而完全忽略中间介质。
   
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3. 从游泳池底部发射一束光线朝向空气和水的界面。确定全反射发生的入射角。
   解答
   临界角由下式给出：

   \displaystyle \theta_{临界}= \arcsin\left(\frac{1.00}{1.33}\right) \approx 48.7535^o

   [视频]