Miroirs Plans, Problèmes Résolus
Résumé :
Dans cette leçon, nous examinerons quelques problèmes résolus des miroirs plans. L’angle de réflexion \gamma est déterminé en fonction de l’angle \theta entre deux miroirs plans reliés par une charnière, et des exemples spécifiques sont calculés. Les valeurs critiques de \alpha sont examinées pour que le rayon rebondisse une fois sur chaque miroir, et la formule pour \gamma est validée. De plus, les angles d’incidence qui font revenir le rayon sur lui-même sont identifiés, et une séquence d’angles de retour \alpha_n = n\theta est calculée.
Objectifs d’apprentissage
À la fin de cette leçon, l’étudiant sera capable de :
- Comprendre les formules fondamentales de l’optique des miroirs plans.
- Appliquer la loi de réflexion aux problèmes avec des miroirs plans.
- Déterminer l’angle de réflexion \gamma en fonction de l’angle \theta entre deux miroirs plans.
- Analyser les limites des formules pour les miroirs et leurs conditions de validité.
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
Miroirs reliés par une charnière
Examen des limites du raisonnement
Angles de retour
Introduction
Dans la leçon précédente, nous avons examiné la plupart des formules liées à l’optique des miroirs plans et sphériques ; cependant, pour une meilleure compréhension de ces sujets, il est nécessaire de revoir leur application dans la résolution de problèmes associés à ces sujets. C’est pourquoi nous consacrerons cette partie exclusivement à la révision de la solution de certains problèmes. Cette fois, nous nous concentrerons exclusivement sur les miroirs plans.
Miroirs reliés par une charnière
Deux miroirs plans reliés par une extrémité forment un angle \theta. Si un rayon de lumière tombe sur un des miroirs avec un angle \alpha par rapport à la normale de sorte que la lumière rebondisse une fois sur chaque miroir et se croise en formant un angle \gamma:
- Trouvez une formule pour déterminer l’angle \gamma en fonction des autres données.
- Si le rayon de lumière tombe sur le premier miroir avec un angle \alpha=30^o et que l’angle entre les miroirs est de \theta=50^o, quel sera l’angle \gamma?
- En définissant l’angle \beta entre la normale du second miroir et le rayon lumineux réfléchi par le premier miroir, et en utilisant la loi de réflexion dans les miroirs plans, nous pouvons compléter le schéma de la manière suivante :
En gardant cela à l’esprit, il est maintenant possible de faire le raisonnement suivant :(1) (90^o - \alpha) + (90^o - \beta) + \theta = 180^o ; Parce que la somme des angles intérieurs d’un triangle est 180^o \equiv \alpha + \beta = \theta (2) 2\alpha +2\beta + \gamma = 180 ; Parce que la somme des angles intérieurs d’un triangle est 180^o \equiv \gamma = 180 - 2(\alpha + \beta) (3) \color{blue}{\gamma = 180 - 2\theta} ; De (1,2) Par conséquent, il est déduit que l’angle \gamma ne sera qu’une fonction de l’angle \theta formé par les miroirs et sa formule sera \gamma(\theta) = 180^0 - 2\theta
- Basé sur le raisonnement de la partie précédente, nous avons que \gamma = 180^o - 2\cdot 50^o = 80^o
Examen des limites du raisonnement
L’exercice précédent a un problème délicat. Si vous observez l’énoncé, vous verrez qu’il est exigé que le rayon lumineux ne doit rebondir qu’une seule fois sur chaque miroir ; cependant, toutes les valeurs de \alpha ne conviennent pas. Trouvez les valeurs de \alpha qui satisfont cette condition et, par conséquent, permettent à la formule obtenue dans l’exercice précédent d’être valide.
Nous avons que \alpha atteint la valeur « critique » lorsqu’il fait \beta=0^o; et lorsque cela se produit, nous pouvons prendre un angle x qui permet le raisonnement suivant :
Les deux équations suivantes doivent être satisfaites :
\alpha + x = 90^o
\theta + x = 90^o
Et cela n’est possible que si :
\alpha = \theta
Autrement dit : la valeur \alpha=\theta est la valeur de l’angle d’incidence critique telle que, si elle est dépassée, alors le rayon rebondira plus de deux fois sur un miroir et, par conséquent, rendra la formule obtenue dans l’exercice précédent invalide. À partir de ces résultats, nous pouvons corriger le résultat de l’exercice précédent en écrivant :
\gamma(\theta, \alpha) = 180^0 - 2\theta \;\;\;\; ; \;\;\;\; \alpha \in ]0,\theta[
Angles de retour
À partir de ces résultats, nous pouvons voir que, pour certains angles d’incidence, le rayon lumineux retourne sur lui-même. Cela se produit lorsque \alpha = 0^o ou lorsque \alpha = \theta, où \theta est l’angle formé entre les deux miroirs plans. Existe-t-il d’autres angles de retour? et s’ils existent, comment peuvent-ils être calculés?
SOLUTIONPour résoudre ce problème, nous devons imaginer la situation qui se produit lorsque le rayon lumineux tombe sur le premier miroir avec un angle par rapport à la normale \alpha\in ]\theta, 180^o[. Lorsque cela se produit, nous avons une situation comme celle montrée dans la figure suivante :
Comme la somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180^o:
(90^o - \alpha) + (90^o + \beta) + \theta = 180
En simplifiant cette relation, nous pouvons obtenir l’angle \beta en termes de \alpha et \theta.
\beta=\alpha - \theta
Cette expression est importante car si \beta=\theta, alors, selon le raisonnement de l’exercice précédent, le rayon devrait revenir sur lui-même lors de la prochaine réflexion. Ainsi \alpha=2\theta. Par conséquent, ce raisonnement peut être étendu de manière inductive à travers :
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{n-1} = \alpha_n - \theta
Et, à partir de cela, nous avons la séquence d’angles de retour :
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{2} = 2\theta
\vdots
- \alpha_{n} = n\theta
De plus, nous devons noter que l’angle entre les miroirs plans ainsi que chaque angle d’incidence doivent être aigus.