1. بتعريف الزاوية \beta بين العمودي للمرآة الثانية والشعاع الضوئي المنعكس من المرآة الأولى، واستخدام قانون الانعكاس في المرايا المستوية، يمكننا إكمال الشكل كما يلي:
   
   مع وضع هذا في الاعتبار، يمكن الآن إجراء التفكير التالي:
   <

   (1)	(90^o - \alpha) + (90^o - \beta) + \theta = 180^o	; لأن مجموع الزوايا الداخلية لمثلث هو 180^o
   \equiv	\alpha + \beta = \theta
   (2)	2\alpha +2\beta + \gamma = 180	; لأن مجموع الزوايا الداخلية لمثلث هو 180^o
   \equiv	\gamma = 180 - 2(\alpha + \beta)
   (3)	\color{blue}{\gamma = 180 - 2\theta}	; من (1,2)

   لذلك، يمكن الاستنتاج أن الزاوية \gamma ستكون فقط دالة للزاوية \theta التي تشكلها المرايا وصيغتها ستكون \gamma(\theta) = 180^0 - 2\theta

2. بناءً على التفكير في الجزء السابق، لدينا أن \gamma = 180^o - 2\cdot 50^o = 80^o

لدينا أن \alpha تصل إلى القيمة “الحرجة” عندما تجعل \beta=0^o; وعندما يحدث ذلك، يمكننا اتخاذ زاوية x التي تسمح بالتفكير التالي:

يجب أن تحدث المعادلتان التاليتان:

\alpha + x = 90^o

\theta + x = 90^o

وهذا ممكن فقط إذا:

\alpha = \theta

بمعنى: القيمة \alpha=\theta هي قيمة زاوية السقوط الحرجة بحيث، إذا تم تجاوزها، فإن الشعاع سينعكس أكثر من مرتين على المرآة، وبالتالي، ستصبح الصيغة التي تم الحصول عليها في التمرين السابق غير صالحة. بناءً على هذه النتائج، يمكننا تصحيح نتيجة التمرين السابق بكتابة:

\gamma(\theta, \alpha) = 180^0 - 2\theta \;\;\;\; ; \;\;\;\; \alpha \in ]0,\theta[

لحل هذه المشكلة، يجب أن نتخيل الوضع عندما يسقط الشعاع الضوئي على المرآة الأولى بزاوية بالنسبة للعمودي \alpha\in ]\theta, 180^o[. عندما يحدث ذلك، لدينا وضع كما هو موضح في الشكل التالي:

نظرًا لأن مجموع الزوايا الداخلية لمثلث هو 180^o:

(90^o - \alpha) + (90^o + \beta) + \theta = 180

بتبسيط هذه العلاقة، يمكننا الحصول على الزاوية \beta بوحدات \alpha و \theta.

\beta=\alpha - \theta

هذه التعبير مهم لأنه إذا \beta=\theta, فإن الشعاع يجب أن يعود على نفسه في الانعكاس التالي حسب التفسير في التمرين السابق. وبالتالي \alpha=2\theta. لذلك، يمكن تمديد هذا التفسير بشكل استقرائي من خلال:

• \alpha_0 = 0^o
• \alpha_1 = \theta
• \alpha_{n-1} = \alpha_n - \theta

وبناءً على ذلك، لدينا تسلسل زوايا العودة:

• • \alpha_0 = 0^o
  • \alpha_1 = \theta
  • \alpha_{2} = 2\theta

\vdots

• \alpha_{n} = n\theta

بالإضافة إلى ذلك، يجب أن نلاحظ أن الزاوية بين المرايا المستوية وكذلك كل زاوية من زوايا السقوط يجب أن تكون حادة.