समतल और गोलाकार दर्पणों में परावर्तन
सारांश:
इस कक्षा में, हम ज्यामितीय प्रकाशिकी के मौलिक सिद्धांतों की समीक्षा करेंगे, जिसमें समतल और गोलाकार दर्पणों में परावर्तन पर ध्यान केंद्रित किया जाएगा। यह प्रकाश किरण, बिंदु स्रोत और बिंदु छवि जैसे प्रमुख शब्दों को परिभाषित करता है। इसके अलावा, यह दर्पणों के लिए संकेतों के नियम और छवियों की स्थिति की गणना के लिए डेसकार्टेस संबंध को संबोधित करता है। उत्तल और अवतल दर्पणों की विशेषताओं का भी अन्वेषण किया गया है, और वे वास्तविक और आभासी छवियों के निर्माण को कैसे प्रभावित करते हैं। अंत में, छवि के आकार और उन्मुखीकरण में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए वृद्धि गुणांक का परिचय दिया गया है।
शिक्षण उद्देश्य
कक्षा के अंत में, छात्र सक्षम होंगे
- समझें कि ज्यामितीय प्रकाशिकी विद्युत चुम्बकीय प्रकाशिकी का एक सरलीकरण है जो ज्यामिति और गणना का उपयोग करके छवियों के निर्माण को समझने में सहायक होता है।
- समझें परावर्तन और अपवर्तन के नियम और उनके दर्पणों और लेंसों के साथ छवियों के निर्माण में आवेदन।
- महत्वपूर्ण अवधारणाओं को समझें और अलग करें जैसे प्रकाश किरण, प्रक्षिप्त किरण, बिंदु स्रोत, और बिंदु छवि।
- दर्पणों के लिए संकेतों के नियम लागू करें वस्तुओं और छवियों की स्थिति निर्धारित करने के लिए।
- विश्लेषण करें समतल दर्पणों में छवियों का निर्माण, समरूपता और छवियों की आभासी प्रकृति को उजागर करते हुए।
सामग्री की सूची
ज्यामितीय प्रकाशिकी में बुनियादी विचार
परिभाषाएँ
दर्पणों के लिए संकेतों का नियम
समतल दर्पण और परावर्तन
समतल दर्पण के सामने एक बिंदु स्रोत
समतल दर्पण के सामने एक विस्तारित वस्तु
गोलाकार दर्पणों में परावर्तन
गोलाकार दर्पण में वस्तु और छवि की स्थिति के बीच संबंध
सीमा मामला जब s\to +\infty
गोलाकार दर्पणों में विस्तारित वस्तुओं का परावर्तन
अवतल और उत्तल दर्पण
वृद्धि गुणांक और इसका व्याख्या
ज्यामितीय प्रकाशिकी में बुनियादी विचार
ज्यामितीय प्रकाशिकी विद्युत चुम्बकीय प्रकाशिकी का एक सरलीकरण है जो छवियों और उनकी विशेषताओं के निर्माण को समझने में आसान बनाता है। ज्यामिति और गणना के माध्यम से, अपवर्तन और परावर्तन के नियमों का अनुमान लगाया जा सकता है जो दर्पणों और लेंसों के साथ छवियों के निर्माण को समझने में सहायक होते हैं। इस पहले खंड में, हम ज्यामितीय प्रकाशिकी के बुनियादी अवधारणाओं और समतल और गोलाकार दर्पणों में परावर्तन का अध्ययन करेंगे।
इन विचारों को समझने और अनुमान लगाने के लिए, हम कुछ महत्वपूर्ण अवधारणाओं को परिभाषित करेंगे:
परिभाषाएँ
| प्रकाश किरण | यह वह काल्पनिक रेखा है जो प्रकाश के प्रसार पथ का प्रतिनिधित्व करती है। यदि स्रोत एक बिंदु स्रोत है, तो प्रकाश उससे गोलाकार तरंगों (विद्युत चुम्बकीय) के रूप में निकलता है; परिणामस्वरूप, प्रकाश किरणें ऊर्जा के प्रवाह की दिशा, या यदि चाहें, तो पॉयन्टिंग वेक्टर की दिशा होती हैं। |
| प्रक्षिप्त किरण | एक प्रकाश किरण के विस्तार का प्रतिनिधित्व करने वाली काल्पनिक रेखा। |
| बिंदु स्रोत या बिंदु वस्तु | अंतरिक्ष का वह बिंदु जहाँ से प्रकाश किरणें उत्पन्न होती हैं, चाहे वह अपनी हो या परावर्तित हो। वस्तु बिंदु स्रोत या विस्तारित हो सकती है; यदि यह बिंदु स्रोत है, तो इसका कोई आकार नहीं होता, केवल स्थिति होती है; यदि यह विस्तारित होती है, तो इसका एक सीमित गैर-शून्य आयतन और एक सतह होती है जो इसे घेरती है। |
| बिंदु छवि | अंतरिक्ष का वह स्थान जहाँ प्रकाश किरणें या प्रक्षिप्त किरणें अभिसरण होती हैं। |
| परावर्तन | यह वह प्रक्रिया है जिसमें प्रकाश किरणें दिशा बदलती हैं जब वे एक परावर्तक सतह पर गिरती हैं। |
| अपवर्तन | यह वह प्रक्रिया है जिसमें प्रकाश किरणें दिशा और वेग बदलती हैं जब वे एक माध्यम से दूसरे माध्यम में प्रवेश करती हैं। |
दर्पणों के लिए संकेतों का नियम
एक उपयोगी अवधारणा जो ज्यामितीय प्रकाशिकी में प्रणालीकरण के लिए है, वह है संकेतों का नियम, जो निम्नानुसार है:
- वस्तु की स्थिति: यदि वस्तु परावर्तक सतह की ओर आने वाली किरणों के पार्श्व में है, तो उसकी स्थिति s की माप सकारात्मक होगी, अन्यथा नकारात्मक।
- छवि की स्थिति: यदि छवि परावर्तक सतह से निकलने वाली किरणों के पार्श्व में है, तो उसकी स्थिति s^\prime की माप सकारात्मक होगी, अन्यथा नकारात्मक।
समतल दर्पण में हमेशा समीकरण s=-s^\prime. लागू होता है।
समतल दर्पण और परावर्तन
परावर्तक सतह का सबसे सरल प्रकार समतल दर्पण है। इसमें देखा जाता है कि हर किरण जो एक कोण \theta पर दर्पण की सामान्य रेखा के सापेक्ष गिरती है, एक कोण \theta^\prime =\theta. पर परावर्तित होती है। इस कारण से, एक पर्यवेक्षक जो परावर्तित किरण को देखता है, ऐसा लगेगा कि परावर्तित वस्तु दर्पण के पीछे है।
समतल दर्पण के सामने एक बिंदु स्रोत
समतल दर्पण में बनाई गई छवि समरूप और आभासी होती है। समरूपता का अर्थ है कि वस्तु और दर्पण के बीच की दूरी छवि और दर्पण के बीच की दूरी के समान है, और आभासी का अर्थ है कि छवि “दर्पण के पीछे” होती है।
समतल दर्पण के सामने एक विस्तारित वस्तु
यदि एक पर्यवेक्षक विस्तारित वस्तु और दर्पण की उपस्थिति को अनदेखा करता है, तो वह परावर्तित किरणों को एक वस्तु के रूप में व्याख्या करेगा, जैसे कि छवि एक वास्तविक वस्तु हो।
गोलाकार दर्पणों में परावर्तन
गोलाकार दर्पण में वस्तु और छवि की स्थिति के बीच संबंध
मान लीजिए कि एक गोलाकार दर्पण जिसका वक्रता त्रिज्या r. है। यदि हम एक वस्तु को s दूरी पर इसके शीर्ष से रखते हैं, तो एक छवि s^\prime, स्थान पर बनती है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:
किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग \pi[rad], होता है, इसलिये:
\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}
इससे हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि \beta = 2\phi - \alpha और इसलिए
\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.
इस जानकारी के साथ, हम वस्तु और छवि की स्थिति s और s^\prime के बीच एक संबंध प्राप्त कर सकते हैं। हम देखते हैं कि:
\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \end{array}
अब, अगर वस्तु दर्पण से काफी दूर है, या अगर वक्रता त्रिज्या काफी बड़ी है, तो हम यह मान सकते हैं कि \alpha, \beta और \phi कोण शून्य के करीब हैं और इस संदर्भ में, निम्नलिखित सन्निकटन मान्य हैं:
\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}
इन सन्निकटन का उपयोग करते हुए हरे रंग में हाइलाइट किए गए समीकरण पर, हमें निम्नलिखित मिलता है:
\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}
अंत में, h को सरलीकृत करते हुए और \displaystyle f = \frac{r}{2} को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है:
\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}
इसे गोलाकार दर्पणों के लिए “डेसकार्टेस संबंध” कहा जाता है, जहां f लेंस के फोकस से मेल खाता है।
सीमा मामला जब s\to+\infty
यदि हम s^\prime का मान निकालें और सीमा की गणना करें जब s\to+\infty, तब:
\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}
\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f
दूसरे शब्दों में, अगर हम स्रोत को बहुत दूर रखते हैं, तो वह किरण जो दर्पण तक पहुँचती है, एक लगभग क्षैतिज मार्ग का पालन करेगी और, दर्पण में परावर्तित होने पर, फोकस से होकर गुजरेगी, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:
गोलाकार दर्पणों में विस्तारित वस्तुओं का परावर्तन
अब तक हमने जो परिणाम देखे हैं, वे हमें यह अनुमान लगाने में मदद करेंगे कि जब किसी वस्तु द्वारा उत्सर्जित या परावर्तित प्रकाश किरणें गोलाकार दर्पण में परावर्तित होती हैं, तो छवि कहां बनेगी। यह ध्यान में रखते हुए कि सभी क्षैतिज किरणें फोकस से होकर गुजरती हैं, सभी फोकस से गुजरने वाली किरणें क्षैतिज रूप से परावर्तित होती हैं, और किरण के दर्पण से टकराने पर, दर्पण स्थानीय रूप से समतल दर्पण की तरह व्यवहार करता है, हम इस जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
विस्तारित वस्तु का प्रत्येक बिंदु प्रकाश किरणों का उत्सर्जन करता है, जो दर्पण द्वारा परावर्तित होने के बाद छवि के संबंधित बिंदु पर एकत्रित होती हैं।
अवतल और उत्तल दर्पण
अब तक हमने जो गोलाकार दर्पण देखे हैं, वे सभी अवतल दर्पण के उदाहरण हैं। ये वे होते हैं जिनमें वक्रता उस दिशा में होती है जिस दिशा से प्रकाश किरणें आती हैं। जब वक्रता विपरीत दिशा में होती है, तो इसे उत्तल दर्पण कहा जाता है। इस प्रकार के दर्पणों में छवियों के निर्माण का ज्यामितीय विश्लेषण करते समय, सबसे पहली बात जो ध्यान में आती है, वह यह है कि परावर्तित किरणें, किसी एक बिंदु में अभिसरण करने के बजाय, अलग-अलग दिशाओं में फैलती हैं; परिणामस्वरूप, छवि को खोजने के लिए, हमें परावर्तित किरणों का प्रक्षेपण करना होता है जिससे एक आभासी छवि बनती है।
इस बिंदु पर, हमें निम्नलिखित शर्तों को ध्यान में रखना चाहिए:
- वास्तविक छवि: वह छवि जो परावर्तित किरणों द्वारा बनाई जाती है, और इसलिए दर्पण के सामने होती है।
- आभासी छवि: वह छवि जो प्रक्षिप्त किरणों द्वारा बनाई जाती है, और इसलिए “दर्पण के पीछे” होती है।
वृद्धि गुणांक और इसका व्याख्या
जैसा कि हमने पिछले चित्रों में देखा है, जब गोलाकार, अवतल या उत्तल दर्पणों में परावर्तन होता है, तो छवि अपने मूल आकार या उन्मुखीकरण में परिवर्तन कर सकती है। तो सवाल उठता है कि क्या इस वृद्धि या कमी और छवि के उन्मुखीकरण में परिवर्तन को मॉडल करने का कोई तरीका है? उत्तर हां है और यह किसी भी चित्र में त्रिभुज की समानता के संबंधों से अनुमानित होता है। निम्नलिखित में अवतल दर्पण के लिए विश्लेषण प्रस्तुत किया गया है, उत्तल दर्पणों के लिए तर्क समान है। हर चरण को सही से समझने के लिए, कृपया ध्यान रखें कि हमने शुरुआत में दर्पणों के लिए संकेतों के नियम देखे थे।
चूंकि नीला और हरा त्रिभुज समान हैं, इसलिए वृद्धि गुणांक m=y^\prime/y जो हमें बताता है कि परावर्तित छवि अपने मूल वस्तु की तुलना में कितना बढ़ती है, निम्नलिखित संबंध से गणना की जा सकती है:
\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}
यहां y^\prime एक ऋणात्मक संकेत के साथ है क्योंकि छवि नीचे की ओर उन्मुख है (उलटी होती है), और दर्पणों के लिए संकेतों के नियम के अनुसार, s और s^\prime दोनों सकारात्मक हैं। परिणामस्वरूप:
\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}
इसका मतलब है कि वस्तु और छवि की स्थितियों को जानते हुए, हम दर्पण के वृद्धि गुणांक की गणना कर सकते हैं।
इस सूत्र को डेसकार्टेस संबंध के साथ समाहित किया जा सकता है, ताकि वृद्धि गुणांक को फोकस और वस्तु की स्थिति से प्राप्त किया जा सके। याद रखें कि
\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.
और हमें मिलेगा:
\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}
इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है:
- अगर |m|\lt 1, तो छवि छोटी हो जाती है; अगर |m|\gt 1, तो छवि बड़ी हो जाती है; और अगर |m|=1, तो आकार वही रहता है।
- अगर m\gt 0, तो छवि वस्तु के मूल उन्मुखीकरण को बनाए रखती है; और अगर m\lt 0, तो छवि वस्तु की तुलना में उलटी होती है।
- जब m=0., छवि एक बिंदु तक सिकुड़ जाती है।