الانعكاس في المرايا المستوية والكروية

ملخص:
في هذه الحصة، سنراجع المبادئ الأساسية للبصريات الهندسية، مع التركيز على الانعكاس في المرايا المستوية والكروية. يتم تعريف مصطلحات أساسية مثل شعاع الضوء، الكائن النقطي والصورة النقطية. بالإضافة إلى ذلك، يتناول قاعدة الإشارات للمرايا وعلاقة ديكارت لحساب مواضع الصور. كما يتم استكشاف خصائص المرايا المقعرة والمحدبة، وكيف تؤثر على تكوين الصور الحقيقية والافتراضية. أخيرًا، يتم تقديم معامل التكبير لوصف التغيير في حجم وتوجيه الصورة بالنسبة إلى الكائن الأصلي.

أهداف التعلم
في نهاية الحصة، سيكون الطالب قادرًا على

1. فهم البصريات الهندسية كتبسيط للبصريات الكهرومغناطيسية الذي يسهل فهم تكوين الصور من خلال استخدام الهندسة والحساب.
2. فهم قوانين الانعكاس والانكسار وتطبيقها في تكوين الصور باستخدام المرايا والعدسات.
3. فهم والتفريق بين المفاهيم الأساسية مثل شعاع الضوء، الشعاع المسقط، الكائن النقطي، والصورة النقطية.
4. تطبيق قاعدة الإشارات للمرايا لتحديد مواضع الكائنات والصور.
5. تحليل تكوين الصور في المرايا المستوية، مع تسليط الضوء على التماثل والطبيعة الافتراضية للصور.

محتويات الفهرس
الأفكار الأساسية في البصريات الهندسية
التعريفات
قاعدة الإشارات للمرايا
المرايا المستوية والانعكاس المرآوي
الكائن النقطي أمام مرآة مستوية
الكائن الممتد أمام مرآة مستوية
الانعكاس في المرايا الكروية
العلاقة بين موضع الكائن والصورة في مرآة كروية
الحالة الحدية عندما s\to +\infty
انعكاس الكائنات الممتدة في المرايا الكروية
المرايا المقعرة والمحدبة
معامل التكبير وتفسيره

الأفكار الأساسية في البصريات الهندسية

البصريات الهندسية هي تبسيط للبصريات الكهرومغناطيسية التي تسمح بفهم تكوين الصور وخصائصها بسهولة. من خلال الهندسة والحساب، من الممكن استنتاج قوانين الانكسار والانعكاس التي تسمح بفهم تكوين الصور باستخدام المرايا والعدسات. في هذه الجلسة الأولى، سندرس المفاهيم الأساسية لـ البصريات الهندسية و<في المرايا المستوية والكروية.

لبدء التعامل مع هذه الأفكار واستخلاص الاستنتاجات، سنعرف بعض المفاهيم الأساسية:

التعريفات

شعاع الضوء	هو الخط الوهمي الذي يمثل مسار انتشار الضوء. إذا كان المصدر كائنًا نقطيًا، فإن الضوء ينبعث منه في شكل موجات كروية (كهرومغناطيسية); أشعة الضوء لها بالتالي اتجاه تدفق الطاقة أو، إذا شئت، اتجاه متجه بوينتنغ.
الشعاع المسقط	خط وهمي يمثل امتداد شعاع الضوء.
الكائن النقطي أو المصدر النقطي	نقطة في الفضاء تنبعث منها أشعة الضوء، سواء كانت خاصة أو منعكسة. يمكن أن يكون الكائن نقطيًا أو ممتدًا; إذا كان نقطيًا، فلا شكل له، فقط موقع; إذا كان ممتدًا، فلديه حجم محدود وغير صفري وسطح يحيط به.
الصورة النقطية	مكان في الفضاء تتلاقى فيه أشعة الضوء أو الأشعة المسقطة.
الانعكاس	عملية تغير أشعة الضوء اتجاهها عند سقوطها على سطح عاكس.
الانكسار	عملية تغير أشعة الضوء اتجاهها وسرعتها عند الانتقال من وسط إلى آخر.

قاعدة الإشارات للمرايا

مفهوم مفيد لنظام البصريات الهندسية هو قاعدة الإشارات التي تُقدم على النحو التالي:

• موضع الكائن: إذا كان الكائن يقع على الجانب الذي تصل إليه الضوء إلى السطح العاكس، فإن القيمة المرتبطة بموضعه s تكون موجبة، وسالبة في الحالة الأخرى.
• موضع الصورة: إذا كانت الصورة على نفس الجانب الذي يخرج منه الضوء من السطح العاكس، فإن القيمة المرتبطة بموضعها s^\prime ستكون موجبة، وسالبة في الحالة الأخرى.

في مرآة مستوية، دائمًا تتحقق المعادلة s=-s^\prime.

المرايا المستوية والانعكاس المرآوي

أبسط نوع من الأسطح العاكسة هو المرآة المستوية. في هذه المرايا، يُلاحظ أن أي شعاع يسقط بزاوية \theta بالنسبة للعمود على المرآة ينعكس بزاوية \theta^\prime =\theta. نتيجة لذلك، سيرى المراقب الشعاع المنعكس وكأن الكائن المنعكس يقع خلف المرآة.

الكائن النقطي أمام مرآة مستوية

الصورة المتكونة في مرآة مستوية هي صورة متناظرة وافتراضية. التناظر يعني أن المسافة بين الكائن والمرآة هي نفسها بين الصورة والمرآة، والافتراضية تعني أن الصورة “خلف المرآة”.

الكائن الممتد أمام مرآة مستوية

إذا تجاهل المراقب وجود الكائن الممتد والمرآة، عند استلام الأشعة المنعكسة، فإنه يفسرها على أنها صادرة من الصورة، كما لو أن الصورة كانت كائنًا حقيقيًا.

الانعكاس في المرايا الكروية

العلاقة بين موضع الكائن والصورة في مرآة كروية

لننظر في مرآة كروية ذات نصف قطر انحناء r. إذا وضعنا كائنًا على مسافة s من القمة، فسيظهر صورة في النقطة s^\prime, كما هو موضح في الشكل:

بما أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو \pi[rad], فإنه ينتج:

\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}

من هذا يمكن استنتاج أن \beta = 2\phi - \alpha وبالتالي

\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.

من خلال هذه المعلومات، يمكن استنتاج العلاقة بين مواضع s و s^\prime للكائن والصورة، على التوالي. للقيام بذلك، نلاحظ:

\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \end{array}

إذا كان الكائن بعيدًا بما فيه الكفاية عن المرآة، أو إذا كان نصف قطر الانحناء كبيرًا بما فيه الكفاية، فمن الممكن افتراض أن الزوايا \alpha, \beta و \phi قريبة من الصفر، وفي ظل هذا السياق، تكون التقريبات التالية صالحة:

\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}

باستخدام هذه التقريبات على المعادلة المميزة باللون الأخضر، نحصل على:

\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}

أخيرًا، بعد تبسيط h واستبدال \displaystyle f = \frac{r}{2} نحصل على

\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}

هذا ما يسمى “علاقة ديكارت” للمرايا الكروية ذات الفتحة الصغيرة، حيث تتوافق القيمة f مع بؤرة العدسة.

الحالة الحدية عندما s\to+\infty

إذا حسبنا قيمة s^\prime وحسبنا الحد عندما s\to+\infty, فسيكون:

\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}

\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f

بعبارة أخرى، إذا وضعنا المصدر بعيدًا جدًا، فإن الشعاع الذي يخرج منه ويصل إلى المرآة سيتبع مسارًا أفقيًا عمليًا، وعند انعكاسه على المرآة، سيمر عبر البؤرة كما هو موضح في الشكل:

انعكاس الكائنات الممتدة في المرايا الكروية

النتائج التي قمنا بمراجعتها حتى الآن ستسمح لنا بتحديد الموقع الذي ستتشكل فيه صورة كائن عندما ينعكس الضوء المنبعث منه أو المنعكس منه في مرآة كروية. للقيام بذلك، يكفي أن نلاحظ أن جميع الأشعة الأفقية تنعكس عبر البؤرة، وأن جميع الأشعة التي تمر عبر البؤرة تنعكس أفقياً وأن المرآة، في نقطة اصطدام الشعاع بها، تتصرف كمرآة مستوية، وبالتالي تكون زاوية السقوط مساوية لزاوية الانعكاس.

كل نقطة من الكائن الممتد تصدر أشعة ضوء تتقاطع، بعد انعكاسها من المرآة، في النقطة المقابلة من الصورة.

المرايا المقعرة والمحدبة

المرايا الكروية التي قمنا بمراجعتها حتى الآن هي جميعها أمثلة على المرايا المقعرة. هذه هي المرايا التي يكون فيها الانحناء على الجانب الذي تأتي منه أشعة الضوء. في حالة أن يكون الانحناء موجهًا إلى الجانب الآخر، يقال أن المرآة محدبة. عند تحليل تكوين الصور في هذا النوع من المرايا هندسيًا، فإن أول شيء يلاحظ هو أن الأشعة المنعكسة، بدلاً من التجمع في نقطة، تتشتت؛ لإيجاد الموقع الذي تتكون فيه الصورة، يجب، بالتالي، إسقاط الأشعة المنعكسة للحصول على صورة افتراضية.

في هذه النقطة يجب أن نأخذ في الاعتبار المصطلحات التالية:

• الصورة الحقيقية: هي عندما تتكون الصورة بواسطة الأشعة المنعكسة، وبالتالي تكون أمام المرآة.
• الصورة الافتراضية: هي عندما تتكون الصورة بواسطة الأشعة المسقطة، وبالتالي “تقع خلف المرآة”.

معامل التكبير وتفسيره

كما رأينا في الأشكال السابقة، عندما يحدث انعكاس في المرايا الكروية، سواء كانت مقعرة أو محدبة، قد تتغير الصورة من حيث الحجم أو الاتجاه بالنسبة إلى الكائن الأصلي. وبالتالي، يظهر السؤال: هل هناك طريقة لنمذجة هذا التكبير أو التصغير والتغيير في الاتجاه؟ الجواب نعم، ويستنتج من خلال العلاقات المتشابهة للمثلثات في أي من الأشكال التي راجعناها. فيما يلي سيتم عرض التحليل لمرآة مقعرة، وبالنسبة للمرايا المحدبة، يكون التفكير مشابهًا. لمتابعة كل خطوة بشكل صحيح، تذكر اتباع قواعد الإشارات للمرايا التي رأيناها في البداية.

نظرًا لأن المثلثات الزرقاء والخضراء متشابهة، فإن معامل التكبير m=y^\prime/y الذي يخبرنا بمدى زيادة حجم الصورة المنعكسة مقارنة بحجم الكائن الأصلي، يمكن حسابه من خلال العلاقة:

\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}

هنا، y^\prime يحمل إشارة سالبة لأن الصورة مقلوبة (مقلوبة رأسيًا)، ووفقًا لقواعد الإشارات للمرايا، فإن s و s^\prime كلاهما موجب. وبالتالي، سيكون لدينا:

\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}

أي، بمعرفة مواقع الكائن والصورة، يمكن حساب معامل التكبير للمرآة.

يمكن تركيب هذه المعادلة مع علاقة ديكارت لحساب معامل التكبير بناءً على البؤرة وموضع الكائن. فقط تذكر أن

\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.

وسيكون لدينا:

\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}

من هذا يمكننا أن نستنتج أن:

• إذا كان |m|\lt 1، فإن الصورة تتقلص; عندما يكون |m|\gt 1، فإن الصورة تتوسع; وعندما يكون |m|=1, تحتفظ بحجمها.
• إذا كان m\gt 0، فإن الصورة تحتفظ باتجاه الكائن الأصلي; وعندما يكون m\lt 0، فإن الصورة تنقلب بالنسبة إلى الكائن الأصلي.
• تتقلص الصورة إلى نقطة عندما يكون m=0.