Введение

До этого момента мы подробно рассмотрели, как осуществляются преобразования Лоренца, то есть как координаты в пространстве-времени Минковского конкретного события изменяются при наблюдении из разных инерциальных систем отсчета. Теперь мы рассмотрим другой подход к этим преобразованиям, рассматривая их как вращения пространства-времени. Скоро мы обнаружим, что этот подход предоставляет алгебраические преимущества, упрощающие вычисления, особенно при комбинировании нескольких последовательных преобразований Лоренца.

Вращения в Пространстве-Времени Минковского

Начнем с анализа различных пространственных вращений в пространстве-времени Минковского. Поскольку это четырехмерное пространство, наиболее практичным способом задания вращения является выбор конкретной плоскости. Таким образом, мы можем определить вращения в плоскостях xy, xz и yz, а также в плоскостях xt, yt и zt. Вращения, осуществляемые в плоскостях, образованных пространственными осями, являются чисто пространственными вращениями, тогда как вращения, осуществляемые в плоскостях, образованных осями пространства и времени, являются вращениями пространства-времени. Сейчас мы сосредоточимся на подробном понимании чисто пространственных вращений, чтобы затем расширить это знание до вращений пространства-времени.

Чисто Пространственные Вращения

Начнем наше изучение пространственных вращений с рассмотрения вращений в плоскости xy. Для этого предположим, что у нас есть точка с координатами (a,b) относительно системы, определенной осями \hat{x} и \hat{y}. Затем проанализируем связь между этими координатами и координатами, которые будут наблюдаться в повернутой системе отсчета. Эта система определена осями \hat{x}^\prime и \hat{y}^\prime, которые повернуты на угол \theta относительно исходной системы, как показано на следующем рисунке:

Для получения связей между координатами (a,b) и (a^\prime,b^\prime), измеренными из каждой системы, мы можем использовать следующие направляющие линии:

Таким образом, теперь легко получить уравнения преобразования

\begin{array}{rcl} a^\prime & = & \phantom{-}a\cos(\theta) + b\sin(\theta) \\ b^\prime & = & -a \sin(\theta) + b \cos(\theta) \end{array}

Матрицы для Трехмерных Вращений

Эту систему уравнений можно удобнее представить в матричной форме.

\left(\begin{array}{r} a^\prime \\ b^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a \\ b \end{array}\right)

Это удобно, потому что отсюда легко обобщить на более высокие размеры. Например, точка с координатами (a,b,c) в системе, образованной осями \hat{x}, \hat{y} и \hat{z}, наблюдаемая из другой системы, образованной осями \hat{x}^\prime, \hat{y}^\prime и \hat{z}^\prime, отличающейся от исходной системы вращением на угол \theta относительно плоскости \hat{x}\hat{y}, будет:

\left(\begin{array}{r} a^\prime \\ b^\prime \\ c^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a \\ b \\ c\end{array}\right)

Из этого мы получаем различные матрицы преобразования вращений для каждой из пространственных плоскостей.

\begin{array}{rll} R_{xy}(\theta)= & \left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) & \begin{array}{l} Вращение на угол \theta\\ в плоскости xy \end{array} \\ \\ R_{yz}(\theta)= & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right) & \begin{array}{l} Вращение на угол \theta\\ в плоскости yz \end{array} \\ \\ R_{xz}(\theta)= & \left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)\end{array}\right) & \begin{array}{l} Вращение на угол \theta\\ в плоскости xz \end{array} \end{array}

Для вычисления обратного преобразования этих вращений достаточно заменить \theta на -\theta.

Пространственные Вращения для Событий с Координатами Пространства-Времени

Так же, как мы обобщили вращения с двух до трех измерений, мы можем распространить это на четыре измерения. Для сохранения согласованности с языком специальной теории относительности важно понимать значение каждой координаты. Обычно координаты пространства-времени выражаются следующим образом:

x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)

Здесь верхние индексы не означают степени, а указывают на характеристики каждой координаты. Координата с верхним индексом 0 представляет временное измерение, а координаты с верхними индексами 1, 2 и 3 соответствуют пространственным измерениям. С учетом этого чисто пространственные вращения в пространстве-времени Минковского описываются следующими отношениями:

Вращение относительно плоскости xy: \underbrace{\left(\begin{array}{r} x^{\prime 0} \\ x^{\prime 1} \\ x^{\prime 2} \\ x^{\prime 3} \end{array}\right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{\large{{R_{xy}(\theta)^\mu}_\nu}} \underbrace{\left(\begin{array}{c} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{array}\right)}_{\large{x^{\nu}}}

Вращение относительно плоскости yz: \underbrace{\left(\begin{array}{c} x^{\prime 0} \\ x^{\prime 1} \\ x^{\prime 2} \\ x^{\prime 3} \end{array}\right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ {} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array}\right)}_{\large{{R_{yz}(\theta)^\mu}_\nu}} \underbrace{\left(\begin{array}{r} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{array}\right)}_{\large{x^{\nu}}}

Вращение относительно плоскости xz: \underbrace{\left(\begin{array}{c} x^{\prime 0} \\ {}x^{\prime 1} \\ x^{\prime 2} \\ x^{\prime 3} \end{array}\right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{array}\right)}_{\large{{R_{xz}(\theta)^\mu}_\nu}} \underbrace{\left(\begin{array}{r} x^0 \\ {} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{array}\right)}_{\large{x^{\nu}}}

Эти преобразования сохраняют те же свойства, что и их аналоги в трех измерениях.

Гиперболические Вращения Пространства-Времени

Введение Параметра Скорости

Сходство между преобразованиями Лоренца и пространственным вращением можно получить, введя то, что мы называем параметром скорости

\psi_{ss^\prime_x}= \text{argtanh}(\beta_{ss^\prime_x}).

Поскольку \beta_{ss^\prime_x}\in]-1,1[, то \psi_{ss^\prime_x}\in\mathbb{R}. Кроме того, отметим, что из этого следует, что \gamma_{ss^\prime_x}=\cosh(\psi_{ss^\prime_x}) и \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} = \sinh(\psi_{ss^\prime_x}). Это можно получить из следующих вычислений:

Ясно, что \psi_{ss^\prime_x}= \text{argtanh}(\beta_{ss^\prime_x}) эквивалентно \beta_{ss^\prime_x} =\tanh(\psi_{ss^\prime_x}); и, следовательно:

\begin{array}{rl} \gamma^2_{ss^\prime_x} &= \dfrac{1}{1-\beta^2_{ss^\prime_x}} \\ \\ & = \dfrac{1}{1-\tanh^2(\psi_{ss^\prime_x})} \\ \\ {} & = \dfrac{\cosh^2(\psi_{ss^\prime_x})}{\cosh^2(\psi_{ss^\prime_x}) - \sinh^2(\psi_{ss^\prime_x})} \\ \\ & = \cosh^2(\psi_{ss^\prime_x}) \end{array}

Так как как фактор гамма, так и гиперболический косинус всегда больше или равны 1, окончательно доказано, что \gamma_{ss^\prime_x} = \cosh(\psi_{ss^\prime_x}).

Аналогично, продолжая ранее проведенные вычисления, мы имеем:

\gamma^2_{ss^\prime_x} \beta^2_{ss^\prime_x} = \cosh^2(\psi_{ss^\prime_x}) \tanh^2(\psi_{ss^\prime_x})= \sinh^2(\psi_{ss^\prime_x}).

И, следовательно, \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} = \sinh(\psi_{ss^\prime_x}).

Формулирование Вращений Пространства-Времени как Гиперболических Вращений

Достигнув этой точки, мы можем переписать фактор, связанный с ускорением скорости и фактор гамма, используя параметр скорости в преобразованиях Лоренца. Рассматривая две инерциальные системы S и S^\prime в стандартной конфигурации, где на вторую систему применяется ускорение вдоль оси x, \beta_{ss^\prime_x}, имеем:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x) \\ &= \gamma_{ss^\prime_x} ct - \gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} x \\ &= ct\cosh(\psi_{ss^\prime_x}) - x\sinh(\psi_{ss^\prime_x}), \\ \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct) \\ &= -\gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} ct + \gamma_{ss^\prime_x}x \\ &= -ct \sinh(\psi_{ss^\prime_x}) + x\cosh(\psi_{ss^\prime_x}), \\ \\ y^\prime &= y, \\ \\ z^\prime &= z. \end{array}

Эту систему уравнений можно представить в следующей матричной форме:

Гиперболическое Вращение Пространства-Времени в Плоскости tx:

\begin{array}{rl} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} &= \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \cosh(\psi_{ss^\prime_x}) & -\sinh(\psi_{ss^\prime_x}) & 0 & 0 \\ - \sinh(\psi_{ss^\prime_x}) & \cosh(\psi_{ss^\prime_x}) & 0 & 0 \\ {} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{\large{{R_{tx}(\psi_{ss^\prime_x})^\mu}_\nu}} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)}_{\large{x^{\nu}}} \end{array}

Аналогично, у нас есть гиперболические вращения для каждой из плоскостей пространства-времени:

Гиперболическое Вращение Пространства-Времени в Плоскости ty:

\begin{array}{rl} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} &= \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} \cosh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 & -\sinh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ {} - \sinh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 & \cosh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{\large{{R_{ty}(\psi_{ss^\prime_y})^\mu}_\nu}} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)}_{\large{x^{\nu}}} \end{array}

Гиперболическое Вращение Пространства-Времени в Плоскости tz:

\begin{array}{rl} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} &= \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \cosh(\psi_{ss^\prime_z}) & 0 & 0 & -\sinh(\psi_{ss^\prime_z}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sinh(\psi_{ss^\prime_z}) & 0 & 0 & \cosh(\psi_{ss^\prime_z}) \end{array} \right)}_{\large{{R_{tz}(\psi_{ss^\prime_z})^\mu}_\nu}} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)}_{\large{x^{\nu}}} \end{array}

По своей форме и алгебраическим свойствам эти преобразования очень похожи на пространственное вращение, только вместо использования тригонометрических функций они используют гиперболические функции. Хотя это не вращения в строгом смысле слова, они сохраняют аналогию с рассмотренными ранее вращениями. Например, так же, как и в случае с вращениями, обратное преобразование получается заменой соответствующего параметра скорости \psi на -\psi. Эти преобразования иногда называют гиперболическими вращениями, а параметр скорости также известен как гиперболический угол.