مقدمة

حتى هذه اللحظة، قمنا بفحص تفصيلي لكيفية إجراء تحولات لورنتز، أي كيفية تغيير الإحداثيات في زمكان مينكوفسكي لحدث معين عند مشاهدتها من أطر مرجعية قصورية مختلفة. ما سنفعله بعد ذلك هو مراجعة وجهة نظر مختلفة لهذه التطورات، متصورين إياها كتحولات دورانية للزمكان. قريبًا سنكتشف أن هذا النهج يوفر فوائد على المستوى الجبري، مما يبسط بشكل عام الحسابات، خاصة عند دمج العديد من تحولات لورنتز المتتالية.

الدورانات في زمكان مينكوفسكي

لنبدأ بتحليل كيفية إجراء الدورانات الفضائية المختلفة في زمكان مينكوفسكي. نظرًا لأن هذا فضاء رباعي الأبعاد، فإن الطريقة الأكثر عملية لتحديد دوران هي القيام بذلك بالنسبة إلى مستوى معين. وبهذه الطريقة، يمكننا تعريف الدورانات على المستويات xy، xz وyz، وكذلك على المستويات xt، yt وzt. الدورانات التي يتم إجراؤها في مستويات تتكون من محاور فضائية هي دورانات فضائية بحتة، بينما تلك التي يتم إجراؤها في مستويات تتكون من محاور فضاء وزمان هي دورانات زمكانية. في الوقت الحالي، سنركز على فهم الدورانات الفضائية البحتة بالتفصيل لنوسع هذا الفهم لاحقًا إلى الدورانات الزمكانية.

دورانات فضائية بحتة

لنبدأ دراستنا للدورانات الفضائية بمراجعة كيفية إجراء الدورانات في المستوى xy. لنفترض أننا لدينا نقطة بإحداثيات (a,b) بالنسبة للنظام المُعرّف بواسطة المحاور \hat{x} و\hat{y}. بعد ذلك، نحلل العلاقة التي تربط هذه الإحداثيات مع تلك التي يلاحظها نظام مرجعي دوار. هذا النظام يتم تعريفه بواسطة المحاور \hat{x}^\prime و\hat{y}^\prime، التي تكون مدارة بزاوية \theta بالنسبة للنظام الأصلي، كما هو موضح في الشكل التالي:

لاستخراج العلاقات بين الإحداثيات (a,b) و(a^\prime,b^\prime) المقاسة من كل نظام، يمكننا استخدام الخطوط الإرشادية التالية:

بحيث يصبح من السهل الآن استخراج معادلات التحويل

\begin{array}{rcl} a^\prime & = & \phantom{-}a\cos(\theta) + b\sin(\theta) \\ b^\prime & = & -a \sin(\theta) + b \cos(\theta) \end{array}

التعميم المصفوفي للدورانات ثلاثية الأبعاد

يمكن تمثيل هذا النظام من المعادلات بشكل أكثر ملاءمة في شكله المصفوفي.

\left(\begin{array}{r} a^\prime \\ b^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a \\ b \end{array}\right)

هذا ملائم لأنه من هنا يصبح من السهل التعميم لأبعاد أكبر. على سبيل المثال، نقطة بإحداثيات (a,b,c) في النظام المُعرّف بواسطة المحاور \hat{x}، \hat{y} و\hat{z}، كما يلاحظها نظام آخر مُعرّف بواسطة المحاور \hat{x}^\prime، \hat{y}^\prime و\hat{z}^\prime، الذي يختلف عن النظام الأصلي بدوران بزاوية \theta بالنسبة للمستوى \hat{x}\hat{y}، سيكون:

\left(\begin{array}{r} a^\prime \\ b^\prime \\ c^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a \\ b \\ c\end{array}\right)

من هذا نستخرج المصفوفات التحويلية المختلفة للدورانات لكل من المستويات الفضائية.

\begin{array}{rll} R_{xy}(\theta)= & \left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) & \begin{array}{l} \text{دوران بزاوية }\theta\\ \text{على المستوى }xy \end{array} \\ \\ R_{yz}(\theta)= & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right) & \begin{array}{l} \text{دوران بزاوية }\theta\\ \text{على المستوى }yz \end{array} \\ \\ R_{xz}(\theta)= & \left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)\end{array}\right) & \begin{array}{l} \text{دوران بزاوية }\theta\\ \text{على المستوى }xz \end{array} \end{array}

لحساب التحول العكسي لهذه التحولات الدورانية، يكفي استبدال \theta بـ -\theta.

الدورانات الفضائية للأحداث ذات الإحداثيات الزمكانية

بشكل مشابه لكيفية تعميمنا من بعدين إلى ثلاثة أبعاد، يمكننا تمديد هذا إلى أربعة أبعاد. للحفاظ على الاتساق مع لغة النسبية الخاصة، من المهم فهم معنى كل إحداثي. عمومًا، يتم التعبير عن إحداثيات الزمكان بالطريقة التالية:

x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)

هنا، لا تشير المؤشرات الفوقية إلى الأسس، بل تشير إلى خصائص كل إحداثي. الإحداثي ذو المؤشر الفوقي 0 يمثل البعد الزمني، بينما الإحداثيات ذات المؤشرات الفوقية 1، 2 و3 تمثل الأبعاد الفضائية. مع وضع ذلك في الاعتبار، يتم وصف الدورانات الفضائية البحتة في زمكان مينكوفسكي من خلال العلاقات التالية:

دوران بالنسبة للمستوى xy: \underbrace{\left(\begin{array}{r} x^{\prime 0} \\ x^{\prime 1} \\ x^{\prime 2} \\ x^{\prime 3} \end{array}\right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{\large{{R_{xy}(\theta)^\mu}_\nu}} \underbrace{\left(\begin{array}{c} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{array}\right)}_{\large{x^{\nu}}}

دوران بالنسبة للمستوى yz: \underbrace{\left(\begin{array}{c} x^{\prime 0} \\ x^{\prime 1} \\ x^{\prime 2} \\ x^{\prime 3} \end{array}\right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ {} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array}\right)}_{\large{{R_{yz}(\theta)^\mu}_\nu}} \underbrace{\left(\begin{array}{r} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{array}\right)}_{\large{x^{\nu}}}

دوران بالنسبة للمستوى xz: \underbrace{\left(\begin{array}{c} x^{\prime 0} \\ {}x^{\prime 1} \\ x^{\prime 2} \\ x^{\prime 3} \end{array}\right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{array}\right)}_{\large{{R_{xz}(\theta)^\mu}_\nu}} \underbrace{\left(\begin{array}{r} x^0 \\ {} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{array}\right)}_{\large{x^{\nu}}}

تحتفظ هذه التحولات بنفس خصائصها بالضبط كما في الأبعاد الثلاثية.

الدورانات الزائدية للزمكان

إدخال معامل السرعة

يمكن الحصول على التشابه بين تحولات لورنتز والدوران الفضائي من خلال إدخال ما يسمى معامل السرعة

\psi_{ss^\prime_x}= \text{argtanh}(\beta_{ss^\prime_x}).

نظرًا لأن \beta_{ss^\prime_x}\in]-1,1[، يكون \psi_{ss^\prime_x}\in\mathbb{R}. بالإضافة إلى ذلك، نلاحظ أنه من هذا، سيكون \gamma_{ss^\prime_x}=\cosh(\psi_{ss^\prime_x}) و\gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} = \sinh(\psi_{ss^\prime_x}). يتم الحصول على هذا من خلال الحسابات التالية:

من الواضح أن \psi_{ss^\prime_x}= \text{argtanh}(\beta_{ss^\prime_x}) يعادل القول \beta_{ss^\prime_x} =\tanh(\psi_{ss^\prime_x}); ومن ثم:

\begin{array}{rl} \gamma^2_{ss^\prime_x} &= \dfrac{1}{1-\beta^2_{ss^\prime_x}} \\ \\ & = \dfrac{1}{1-\tanh^2(\psi_{ss^\prime_x})} \\ \\ {} & = \dfrac{\cosh^2(\psi_{ss^\prime_x})}{\cosh^2(\psi_{ss^\prime_x}) - \sinh^2(\psi_{ss^\prime_x})} \\ \\ & = \cosh^2(\psi_{ss^\prime_x}) \end{array}

نظرًا لأن معامل جاما والدالة الزائدية دائمًا أكبر أو تساوي 1، فقد ثبت أخيرًا أن \gamma_{ss^\prime_x} = \cosh(\psi_{ss^\prime_x}).

بالمثل، من خلال مواصلة الحسابات التي تم إجراؤها سابقًا، يكون لدينا:

\gamma^2_{ss^\prime_x} \beta^2_{ss^\prime_x} = \cosh^2(\psi_{ss^\prime_x}) \tanh^2(\psi_{ss^\prime_x})= \sinh^2(\psi_{ss^\prime_x}).

ومن ثم \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} = \sinh(\psi_{ss^\prime_x}).

صياغة الدورانات الزمكانية كدورانات زائدية

بعد أن وصلنا إلى هذه النقطة، يمكننا الآن إعادة كتابة العامل المرتبط بزيادة السرعة وعامل جاما باستخدام معامل السرعة في تحولات لورنتز. بالنظر إلى نظامين قصوريين S وS^\prime في تكوين قياسي، حيث يتم تطبيق زيادة على الثاني على المحور x، \beta_{ss^\prime_x}، يكون:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x) \\ &= \gamma_{ss^\prime_x} ct - \gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} x \\ &= ct\cosh(\psi_{ss^\prime_x}) - x\sinh(\psi_{ss^\prime_x}), \\ \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct) \\ &= -\gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} ct + \gamma_{ss^\prime_x}x \\ &= -ct \sinh(\psi_{ss^\prime_x}) + x\cosh(\psi_{ss^\prime_x}), \\ \\ y^\prime &= y, \\ \\ z^\prime &= z. \end{array}

يمكن تمثيل هذا النظام من المعادلات بالشكل المصفوفي التالي:

الدوران الزائدي للزمكان على المستوى tx:

\begin{array}{rl} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} &= \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \cosh(\psi_{ss^\prime_x}) & -\sinh(\psi_{ss^\prime_x}) & 0 & 0 \\ - \sinh(\psi_{ss^\prime_x}) & \cosh(\psi_{ss^\prime_x}) & 0 & 0 \\ {} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{\large{{R_{tx}(\psi_{ss^\prime_x})^\mu}_\nu}} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)}_{\large{x^{\nu}}} \end{array}

بالمثل، لدينا دوران زائدية على كل من المستويات الزمكانية:

الدوران الزائدي للزمكان على المستوى ty:

\begin{array}{rl} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} &= \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} \cosh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 & -\sinh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ {} - \sinh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 & \cosh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{\large{{R_{ty}(\psi_{ss^\prime_y})^\mu}_\nu}} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)}_{\large{x^{\nu}}} \end{array}

الدوران الزائدي للزمكان على المستوى tz:

\begin{array}{rl} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} &= \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \cosh(\psi_{ss^\prime_z}) & 0 & 0 & -\sinh(\psi_{ss^\prime_z}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ {} - \sinh(\psi_{ss^\prime_z}) & 0 & 0 & \cosh(\psi_{ss^\prime_z}) \end{array}\right)}_{\large{{R_{tz}(\psi_{ss^\prime_z})^\mu}_\nu}} \underbrace{\left( \ \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)}_{\large{x^{\nu}}} \end{array}

بسبب شكلها وخصائصها الجبرية، تشبه هذه التحولات بشكل كبير دورانًا فضائيًا، باستثناء أنها تستخدم دوالًا زائدية بدلاً من الدوال المثلثية. على الرغم من أنها ليست دورانًا بالمعنى الدقيق، إلا أنها تحتفظ بنوع من التشابه مع الدورانات التي تمت مراجعتها في البداية. على سبيل المثال، كما يحدث مع الدورانات، يتم الحصول على التحول العكسي عن طريق استبدال معامل السرعة المقابل \psi بـ -\psi. تُعرف هذه التحولات أحيانًا باسم الدورانات الزائدية، ويُعرف معامل السرعة أيضًا باسم الزاوية الزائدية.