Técnicas de Contagem e as Probabilidades

As Combinação, Variação e Permutação são as técnicas de contagem mais utilizadas no estudo das probabilidades devido às facilidades que introduzem no estudo dos experimentos com resultados equiprováveis. Um dos exemplos mais icônicos desses experimentos provém dos jogos de azar. Estes geralmente se tratam de processos não-deterministas sobre um espaço amostral \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_N\}. Esses experimentos têm a qualidade comum de que todos os eventos da forma \{\omega_i\}\in\mathcal{A}_\Omega, com i\in\{1,2,\cdots, n\}, têm a mesma probabilidade de ocorrer.

A partir da medida de probabilidade como limite de frequências relativas podemos estabelecer a probabilidade de um evento como um quociente de cardinalidades. Como já vimos, isso se faz através da relação:

P(E) = \displaystyle \lim_{N\to\infty}g_N(E) = \lim_{N\to\infty}\frac{f_N(E)}{N}= \frac{\# E}{\# \Omega}

Aqui o símbolo “#” faz referência à cardinalidade do conjunto. Isso é o que se conhece como a fórmula dos casos favoráveis sobre os casos possíveis.

Nessas situações, o cálculo de probabilidades se reduz a calcular a cardinalidade do espaço amostral e do evento a ser medido. É por isso que será muito útil revisar primeiro algumas técnicas de contagem.

Obtenção das Técnicas de Contagem

Para introduzir as combinações, variações e permutações, projetaremos alguns experimentos pensados com resultados equiprováveis e, a partir deles, faremos inferências que conduzem a essas técnicas de contagem.

Suponhamos que temos uma “máquina aleatória perfeita”, que consiste em uma caixa preta, uma memória, um botão de ação e outro de reiniciar. A máquina tem as seguintes propriedades:

1. A máquina só tem uma configuração personalizável: a cardinalidade do seu espaço amostral \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}
2. Ao pressionar o botão de ação, mostrará na tela um dos elementos de \Omega_N
3. Quando se mostra um resultado, este é armazenado na memória, e enquanto estiver lá não se voltará a mostrar ao pressionar o botão de ação.
4. Se a máquina já mostrou todos os resultados possíveis, ela se congelará e não mostrará nada.
5. O botão de reiniciar apaga a memória e o que foi mostrado na tela.

Com essa máquina projetaremos alguns experimentos pensados e analisaremos seus espaços amostrais.

Experimento 1 (AORm): Acionar – Anotar em Ordem – Reiniciar, repetir m vezes

Configura-se a máquina com \#\Omega = N e repetem-se m\leq N vezes a seguinte série de passos:

1. Pressionar o botão de ação
2. Anotar o resultado em uma lista ordenada
3. Reiniciar

Quando terminarmos obteremos uma lista ordenada com m elementos de \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}. Esta lista pode ser interpretada como uma m-tupla de \Omega_N. Em outras palavras, o espaço amostral deste experimento \Omega_{AORm} será da forma

\Omega_{AORm}=\Omega_N \times \cdots \times \Omega_N = \Omega_N^m

Portanto, terá-se que \#\Omega_{AORm}=\#\Omega_N^m = N^m.

Experimento 2 (AOk): Acionar – Anotar em Ordem, repetir k vezes

Configuramos novamente a máquina com \#\Omega = N e repete-se k vezes (k\leq N) a seguinte série de passos:

1. Pressionar o botão de ação.
2. Anotar o resultado em uma lista ordenada.

Quando terminarmos, teremos obtido uma lista ordenada de k elementos de \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}, mas onde nenhum elemento se repetirá com algum dos que o precedem.

Como a máquina, em princípio, não favorece nenhum resultado possível sobre outro (porque é perfeitamente aleatória), é possível assumir sem perda de generalidade que ao acionar a primeira vez que ocorreu o evento \{\omega_1\}, de modo que o espaço amostral da próxima ação deve ser \Omega_N\setminus\{\omega_1\}. Analogamente, pode-se assumir sem perda de generalidade que ao acionar pela segunda vez ocorre o evento \{\omega_2\}; portanto, o espaço amostral da próxima ação será da forma (\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}. Se continuarmos desta forma, quando chegarmos à k-ésima ação, esta terá um espaço amostral da forma

(\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\}

De modo que, o espaço amostral dos resultados possíveis deste experimento será da forma

\Omega_{AOk}= \Omega \times (\Omega_N\setminus\{\omega_1\}) \times ((\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}) \times \cdots \times ((\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\})

Portanto, se calcularmos a cardinalidade deste conjunto, obteremos

\#\Omega_{AOk}= N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots [N-(k-1)]=\displaystyle \frac{N!}{(N-k)!}

A partir deste resultado, cria-se a seguinte definição:

Experimento 3 (ADk): Acionar – Anotar em Desordem, repetir k vezes

Este experimento é exatamente igual ao anterior, só que agora não se registra a ordem em que os elementos de \Omega_N aparecem. Ou seja, o que seriam duas k-tuplas com os mesmos elementos, mas em ordem diferente, agora são consideradas como a mesma coisa. Desta forma, aproveitando que cada k-tupla obtida do experimento AOk pode ser escrita de (k)_k=k! formas diferentes, terá-se que a cardinalidade do espaço amostral deste experimento será da forma

\#\Omega_{ADk} = \displaystyle \frac{\#\Omega_{AOk}}{(k)_k} = \frac{(N)_k}{k!} = \frac{N!}{k!(N-k)!}

A partir disso, pode-se estabelecer a seguinte definição:

Com as técnicas de contagem de permutação, variação e combinação, poderemos agora medir o tamanho de uma grande variedade de conjuntos.