Formulación de las transformaciones de Galileo

La física de Newton descansa sobre el principio de relatividad modelado a través de las transformaciones de Galileo, donde se establece el tiempo como una coordenada universal para todos los observadores inerciales; es decir: t=t^\prime. Bajo esta afirmación se ha vito que la transformación lineal que relaciona las observaciones de dos referenciales inerciales S y S^\prime revisados en la clase sobre el principio de relatividad tiene la forma de una transformación lineal:

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array} [1]

toma la siguiente forma cuando los marcos inerciales S y S^\prime están en configuración estandar y S^\prime se mueve con velocidad v_{ss^\prime_x}\hat{x} respecto de S

\begin{array}{rlr} {}t^\prime &= t \\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x}t \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array} [2]

La transformación inversa

A partir de una suerte de simetría algebraica podemos escribir la transformación inversa:

\begin{array}{rl} t &= t^\prime \\ x &= x^\prime + v_{ss^\prime_x}t \\ y &= y^\prime \\ z &= z^\prime \end{array} [3]

El tiempo absoluto y la suma de las velocidades

De la primera ecuación de las transformaciones de Galileo (cualquiera de las dos, [2] o [3]) se tiene que la coordenada temporal de un evento no depende del marco desde el cual se observe, mientras que la segunda permite obtener lo que usualmente se entiende como «el sentido común» asociado a la suma de velocidades. Si una partícula se mueve con velocidad constante v_{ss^\prime_x} sobre el eje \hat{x} de S, entonces su velocidad en S^\prime queda determinada por

\displaystyle v^\prime_x = \frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{dx^\prime}{dt} = \frac{d}{dt}\left(x - v_{ss^\prime_x} t \right) = v_x - v_{ss^\prime_x}

Derivando en esta última expresión se muestra que la aceleración de una partícula cualquiera es la misma en S y en S^\prime, es decir: dv^\prime_x/dt^\prime = dv_x/dt.

Geometría Galileana del espacio y el tiempo

Si consideramos dos eventos A y B que tienen coordenadas (t_A,x_A,y_A,z_A) y (t_B,x_B,y_B,z_B), respectivamente. Es fácil ver que las cantidades \Delta t = t_B - t_A y \Delta r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 son separadamente invariantes bajo las transformaciones de Galileo, esto nos conduce a considerar el espacio y el tiempo como entidades separadas. Por otro lado \Delta r^2 sugiere que esto es una propiedad geométrica del espacio mismo. Nosotros reconocemos a \Delta r^2 como el cuadrado de la distancia entre los eventos en el espacio euclideo. Esto define la geometría del espacio y del tiempo en el contexto de la mecánica de Newton.

Las relatividad de Galileo y las leyes físicas

Aplicada a la dinámica de Newton

En el apartado anterior vimos que, en el contexto de la física newtoniana, dos marcos inerciales distintos y cualesquiera siempre verán las mismas aceleraciones. Esto, puesto junto a la segunda ley de Newton, implica que todos los marcos inerciales observarán siempre la misma dinámica. Es decir:

\displaystyle F_x = m\frac{dv_x}{dt}= m\frac{dv^\prime_x}{dt^\prime} = F^\prime_x.

Esta última expresión nos dice que la física no cambia al realizar transformaciones de Galileo, que es equivalente a decir que: la física es la misma para todos los observadores inerciales.

Aplicada sobre la propagación de una onda

Si bien esta persistencia de la física ante los cambios de observadores inerciales es algo que se espera que se cumpla, primero porque es lo que observamos al movernos, y segundo porque es lo que se ha obtenido a través de los cálculos anteriores, lo cierto es que no se cumple siempre de esta manera. El caso más notable de un fenómeno que no se preserva bajo transformaciones de Galileo es el caso de la propagación de las ondas; en general, la ecuación que modela la propagación de una onda \psi en el espacio y el tiempo es de la forma

\displaystyle \nabla^2 \psi = \frac{1}{v_0^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} [4]

donde v_0 es la rapidez de propagación de la onda.

¿Qué efecto tienen la transformación de Galileo sobre la propagación de las ondas?

Para esto existe una respuesta corta y una larga. La respuesta corta es que «aún observando el mismo fenómeno, observadores inerciales diferentes verán ‘una física’ diferente». La respuesta larga consiste en ver como cambia la ecuación de propagación de la onda cuando se aplica la transformación de Galileo; para hacer esto, primero tomamos la ecuación [4] y la expandimos sobre cada una de sus coordenadas obteniendo:

\displaystyle \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v_0^2} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2}. [5]

Con esta ecuación a mano, ahora debemos utilizar utilizar las ecuaciones de [3], para re-expresar las derivadas en el otro referencial inercial.

Transformación de las primeras derivadas

Siguiendo las expresiones de [3] y derivando cada variable con respecto a las variables primas se obtiene:

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial y}= \frac{\partial z^\prime}{\partial z}= \frac{\partial t^\prime}{\partial t}= 1

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial t} = - v_{x_0}

Mientras que todas las demás se anulan:

\displaystyle \frac{\partial t^\prime}{\partial x} = \frac{\partial t^\prime}{\partial y} = \frac{\partial t^\prime}{\partial z} = \frac{\partial x^\prime}{\partial y} = \frac{\partial x^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial t} = \frac{\partial z^\prime}{\partial x} = \frac{\partial z^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial t} = 0

Con esto a mano, ahora podemos calcular las derivadas de \psi a través de la regla de la cadena:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial x}}_{=1} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime} \underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime} \underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial x}}_{=0} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}.

Y de forma análoga se tendrá para las otras dos variables espaciales:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}.

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}.

Sin embargo, la derivada temporal presentará algunas diferencias:

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} &= \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}\underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial t}}_{=-v_{x_0}} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}\underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}\underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}\underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial t}}_{=1}\\ &=\displaystyle -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}, \end{array}

Transformación de las segundas derivadas

Para la parte espacial se podrá continuar sin grandes dificultades, los resultados son:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2}. [6]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} [7]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} [8]

Pero la parte temporal, como ya podíamos adelantar desde las primeras derivadas, muestra grandes diferencias:

\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &=\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\left( -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ & \displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) \end{array}

\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2}. [9]

Aplicando las transformaciones de Galileo sobre la propagación de las ondas

De este modo, es posible realizar la transformación de Galileo sobre la ecuación de propagación de la onda remplazando las ecuaciones [6,7,8] y [9] sobre [5], dando por resultado:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} = \frac{1}{v_0^2} \left(\color{red}{ v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2} \right). [10]

Donde se observa que la forma de la propagación de las ondas no se mantiene bajo transformaciones de Galileo debido a la aparición de los términos adicionales marcados en rojo. Si bien esto por ahora no tiene grandes consecuencias, en clases posteriores veremos que esto es justo el punto que «rompe», por decirlo así, con la física clásica dando paso a la relatividad especial.