Le référentiel inertiel

Lors de l’étude de la physique, il est toujours possible de choisir le référentiel à partir duquel les événements seront mesurés, et ces référentiels peuvent différer tant en orientation qu’en mouvement relatif. Parmi tous les référentiels possibles, il existe une classe spéciale qui nous permet de pratiquer la physique telle que nous la connaissons, ce sont les référentiels inertiels. On dit qu’un cadre de référence est inertiel lorsque la première loi de Newton y est satisfaite, ce qui stipule qu’en l’absence d’agents externes, les particules préservent leur état de mouvement et donc :

\displaystyle \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{dy^2}{dt^2} = \frac{dz^2}{dt^2} = 0.

Cela implique que, en l’absence de gravité, si deux cadres S et S^\prime sont inertiels, alors S^\prime ne peut différer de S que par :

• Une translation,
• Une rotation,
• Un mouvement relatif entre les deux cadres à vitesse constante.

Le concept de cadre inertiel est fondamental pour le principe de relativité, qui établit que les lois de la physique ont la même forme dans tous les cadres inertiels. Ce principe s’applique de la même manière, tant en physique newtonienne qu’en relativité restreinte.

Le principe de relativité en physique newtonienne et en relativité restreinte

Les descriptions newtoniennes et de la relativité restreinte diffèrent dans la manière dont les coordonnées d’un événement, par rapport à un système inertiel, sont liées à celles d’un autre système inertiel.

Considérons deux cadres inertiels cartésiens S et S^\prime en « configuration standard », c’est-à-dire là où S^\prime se déplace le long de l’axe \hat{x} de S à une vitesse constante \vec{v}_{ss^\prime} = v_{ss^\prime_x} \hat{x} et les axes respectifs de S et S^\prime sont alignés et coïncident à t=t^\prime = 0.

Alors, s’il existe une transformation linéaire qui relie les coordonnées d’un événement vu de S et S^\prime, elles sont alors reliées par le système suivant d’équations linéaires

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z, \end{array}\;\;\;[\triangle]

où A, B, D et E sont des constantes à déterminer.

Simplification des transformations entre référentiels inertiels

Ces transformations peuvent être simplifiées si nous faisons les observations suivantes :

• Étant donné que les transformations doivent être valables pour tout x^\prime, alors si nous plaçons l’événement à l’origine de S^\prime, il en résulte que x^\prime = 0. Cela implique que l’événement se déplace avec S^\prime et sa position par rapport à S sera x = v_{{ss^\prime}_x}t.

  En remplaçant x = v_{{ss^\prime}_x}t. dans la deuxième équation de [\triangle], nous obtenons que D = -Ev_{{ss^\prime}_x}.

  De manière analogue, les transformations sont également valides pour tout x, donc si nous plaçons l’événement à l’origine de S, en le regardant depuis S^\prime, sa position sera x^\prime = -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime.

  En remplaçant ceci dans la première et la deuxième équation de [\triangle], nous concluons que t^\prime = At et -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime = Dt. En divisant ces deux égalités, nous concluons que D = -v_{{ss^\prime}_x}A.

• Ainsi, la seule manière de concilier les points précédents est d’imposer que A = E,, ce qui simplifie les transformations à :

  \begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= A(x - v_{ss^\prime_x} t), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[2]

Transformations de Lorentz et de Galilée

Dans le cas de la physique newtonienne, nous avons la relativité galiléenne, où le temps s’écoule de la même manière pour tous les référentiels inertiels, donc t = t^\prime. Par conséquent, A = 1 et B = 0. Cela conduit aux célèbres transformations de Galilée qui permettent de transformer les observations entre deux référentiels inertiels.

\begin{array}{rl} t^\prime &= t,\\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x} t, \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[3]

D’autre part, dans le cas de la physique relativiste, nous avons le principe de Relativité d’Einstein, qui considère que la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels inertiels. Cela conduit aux célèbres Transformations de Lorentz de la relativité restreinte et, comme nous le verrons dans les prochains articles, prend la forme suivante :

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right), \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z \end{array}

où \beta_x = v_{ss^\prime_x}/c et \gamma = 1/\sqrt{1 - \beta_x^2}.

Conclusions

Le Principe de Relativité ne révolutionne pas seulement notre compréhension de l’univers, mais remet également en question nos perceptions les plus fondamentales du temps et de l’espace. À travers l’analyse des référentiels inertiels, nous avons vu comment les lois de la physique conservent leur forme constante, indépendamment de l’observateur, à la fois en physique newtonienne et en relativité restreinte. Les transformations de Lorentz et de Galilée illustrent de manière unique les différences subtiles et profondes entre ces deux approches. Ce principe, qui est au cœur de la physique moderne, est essentiel non seulement pour la compréhension théorique des phénomènes physiques, mais aussi pour des applications pratiques allant de la technologie GPS à l’exploration spatiale. En démêlant les complexités du Principe de Relativité, nous nous rapprochons d’un pas de plus de la compréhension de la complexe trame du cosmos et de notre place au sein de celui-ci.