流程控制：总结与挑战

本单元的收获

本单元的目标是教会用判断和循环支配执行顺序，并对其正确性进行推理：每个情形都得到处理，每个循环都做它该做的事，并且会终止。这一目标已经达成，所依靠的只是导言声明为已知的内容：第 3 单元的条件、第 2 单元的类型，以及第 1.1 课的跟踪与变式。那个用三个固定步骤计算最大公约数、并且视数据不同会答错或除以零的程序，被一个三行的循环取代，而现在可以证明这个循环对所有非负数据都是正确的。

判断

判断一课讲授了 if 语句，并且始终带花括号。它表明，在一串 else if 中执行的是第一个条件为真的分支，因此每个分支的实际情形是它自己的条件加上前面所有条件的否定；正因如此，顺序很重要，而且某个分支可能在没有任何警告的情况下变得不可达。它确立了一切判断的正确性准则：其情形必须互斥（由判断链的形式保证）且穷尽（若以 else 结尾即是如此），并且必须与规格说明中的情形一致，这要在每个情形的内部以及每条边界的两侧进行测试。它介绍了条件运算符，用来在两个简短的值之间作选择而不必写一个完整的判断。最后讲了 enum class 和 switch，其中遗漏的情形会由编译器发出警告。

循环

循环一课把 while、do 和 for 介绍为同一机制的三种形式：while 在每一轮之前计算条件，可能一轮也不执行；do 至少执行一轮；for 在头部集中了初始化、条件和步进，其循环变量只在循环内存在。它讲授了三者的等价关系、跟踪表（一个因条件而终止的 while 计算条件 $k + 1$ 次，执行 $k$ 轮；在 do 中则计算 $k$ 次），以及根据头部计算轮数，这能预防差一错误。它还加入了 break、continue 和嵌套循环，其内层循环体的执行次数是一个和：界限固定时为 $m \cdot p$，三角形时为 $n(n + 1)/2$。

设计正确的循环

设计正确的循环一课把循环变成了设计的对象。它汇集了各种模式（计数器、累加器、最大值与最小值、哨兵和标志），每一种都由其变量在每一轮之后的含义来定义。它定义了不变式，即每次计算条件时都成立的断言，以及它的三项义务：初始化、保持和终止，后者与为假的条件一起给出后置条件；并且把它认作对轮数的归纳。它教会反向设计，从后置条件到不变式，再从不变式到循环体。它用变式论证终止性，并展示了三个被 C++ 的算术破坏了变式的循环：跳过 1.0 的实数循环、发生回绕的无符号计数器，以及溢出的有符号计数器。最后，它带来了与调试器的第一次接触。

数值算法

数值算法一课把上述内容应用于四个经典算法，它们都写在 main 之内并且得到了证明。用试除法进行素性检验，附有只需试到 $\sqrt{n}$ 的命题，以及条件 d <= n / d，在 d * d <= n 会溢出的地方它不会溢出。辗转相除法，附有不变式 $\operatorname{gcd}(a, b) = \operatorname{gcd}(a_0, b_0)$ 和变式 $b$，以及它在 C++ 中的两个危险：负的结果，以及在循环体之后才计算条件时的除以零。用逐次相除进行进制转换，以及秦九韶算法（霍纳法则），它每个系数只用一次乘法来计算多项式的值。还有二分法，它由介值定理保证，由一个整数计数器控制，其轮数可以事先算出。