介绍

微积分中最具代表性的元素之一是无穷和无穷极限。 无穷并不指具体的实数，而是试图描述超出任何实数范围的量级。例如，当我们有函数 f(x) = 1/x 并探讨当 x 趋近于无穷大 (x\to \infty) 时的行为时，我们观察到 f(x) 将会无限接近于零。因此，我们写作：

\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0

从图形上看，这种情况表现如下：

无穷极限的定义

基于刚才介绍的概念，我们可以用数学公式来定义无穷极限：

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

无穷极限的直观概念是，当 x 从原点无穷远离时，不论向右还是向左，函数 f(x) 的行为。计算无穷极限的策略与计算有限极限的方法类似，因为其代数基本相同，只需考虑以下结果：

无穷极限的基础知识

基于这些定义，我们可以证明以下基础极限。

1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0

证明：

1. 根据无穷极限的定义，我们有 \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k ，这等价于说：(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right)。但是 \left|k-k\right|=0\lt \epsilon 对任何 \epsilon \gt 0, 均成立，无论 M 的值为何，因此极限得到保证。

    

2. 众所周知，根据定义 \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k 等价于说：(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right)。但如果我们考虑 M=1/\epsilon, 则该隐含条件立即满足，因此极限得到保证。

    

这些证明在 x\to+\infty 时也以类似方式进行。

无穷极限的代数

无穷极限的代数类似于有限极限的代数。 如果 \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L 且 \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M，则以下规则适用：

1. 极限的加法和减法： \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
2. 乘以常数： \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
3. 极限的乘积： \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
4. 极限的商： 只要 M\neq 0, 则 \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
5. 极限的幂： 如果 p,q \in\mathbb{Z} 且 q\neq 0，则 \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q}。如果 q 是偶数，默认 L\geq 0

实际上，这些性质的证明与 有限极限 的证明类似。

有理函数中的无穷极限

有理函数是可以表示为两个多项式的商的函数。 在对这类函数进行无穷极限计算时，可以观察到一个非常有用的性质：

假设我们要计算 \displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x)

• 如果 P(x) 的次数大于 Q(x) 的次数，则当 x\to\infty 时，函数 f(x) 的大小将无限增长（极限不存在）。
• 当 P(x) 的次数小于 Q(x) 的次数时，极限将为零。
• 最后，如果 P(x) 的次数等于 Q(x) 的次数，则极限将等于最高次数项的系数的商。

这一结果的好处在于，如我们将在接下来的示例中看到的，即使涉及的幂不是整数，也能以类似方式起作用。

无穷极限的示例

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [解答]
2. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [解答]
3. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [解答]
4. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [解答]
5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [解答]
6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [解答]
7. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [解答]
8. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [解答]