现在是时候回顾命题逻辑中另一种经常使用的性质，即德摩根定律的合取和析取分配证明。这些定律在集合论中很常用，进而影响整个数学：从概率论、拓扑学到电子学和编程。像往常一样，我们将从已经掌握的演绎技术中详细解析这些定律的证明。

德摩根定律

德摩根定律是一组等价式，形式化描述了否定与合取和析取的分配。形式上，通过以下等价式表示：

\neg(\alpha \wedge \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \vee \neg \beta)

\neg(\alpha \vee \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \neg \beta)

这些已经证明的等价式可以不需要像我们以前那样进行证明，因为我们可以利用合取和析取之间的定义以及双重否定等价和替换的一些技巧。从合取的定义可以得出：

(A \wedge B):= \neg(\neg A \vee \neg B)

将这表达式两边都取反，我们得到

\neg(A \wedge B):= \neg\neg(\neg A \vee \neg B)

然后，通过双重否定等价，我们得到

\neg(A \wedge B)\dashv \vdash (\neg A \vee \neg B)

最后，替换 A=\alpha 和 B=\beta，我们得到德摩根的第一个等价式

\boxed{\neg(\alpha \wedge \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \vee \neg \beta)}

为了得到第二个等价式，我们可以继续操作，将之前表达式两边再取反，得到

\neg\neg(A \wedge B)\dashv \vdash \neg(\neg A \vee \neg B)

然后，通过双重否定等价，我们得到

\neg(\neg A \vee \neg B) \dashv \vdash (A \wedge B)

在这个最后表达式中，替换 A=\neg\alpha 和 B=\neg\beta，我们将得到

\neg(\neg \neg\alpha \vee \neg \neg\beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \neg\beta)

由于双重否定等价，这将导致德摩根的第二个等价式

\boxed{\neg( \alpha \vee \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \neg\beta)}

此外，以完全类似的方式，我们可以获得一些额外的形式，这些只是我们刚刚回顾过的变体

\neg(\neg\alpha \wedge \beta) \dashv \vdash (\alpha \vee \neg \beta)

\neg(\neg\alpha \vee \beta) \dashv \vdash (\alpha \wedge \neg \beta)

\neg(\alpha \wedge \neg\beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \vee \beta)

\neg(\alpha \vee \neg\beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \beta)

结合和析取的分配律规则

顾名思义，这些规则允许我们在表达式中分配集合和析取。这些定律总结在以下两个等价关系中：

正如我们到目前为止所看到的，虽然这是一个已知的结果，但其证明并不简单。尽管为了完成这个证明需要双向推理，但在这次我只会给出一个方向的证明，反向的证明留给读者作为练习。

∧ – 分配律

为了证明发生的情况 \{(\alpha \wedge(\beta \vee\gamma))\}\vdash((\alpha \wedge \beta)\vee(\alpha \wedge \gamma)) 进行如下推理。

这样就证明了 \{(\alpha \wedge(\beta \vee\gamma))\}\vdash((\alpha \wedge \beta)\vee(\alpha \wedge \gamma))。现在轮到你展示所学并尝试证明 \{((\alpha \wedge \beta)\vee(\alpha \wedge \gamma))\}\vdash (\alpha \wedge(\beta \vee\gamma))。

∨ – 分配律

证明 \{(\alpha \vee(\beta \wedge\gamma))\}\vdash((\alpha \vee \beta)\wedge(\alpha \vee \gamma)) 的推理如下：

这只是证明的一半，现在只需要反过来证明，但这留作读者练习 :3

最终考虑

通过我们对德摩根定律中结合与析取的分配律证明的回顾，我们可以结束对命题逻辑推理技术的研究，并了解它们如何在经典逻辑定律（至少是最重要的定律）的证明中汇聚。

完成所有建议的证明对于巩固这些技术的知识非常重要。为了让这稍微简单一些，非常有必要比较各个证明以寻找相似之处，因为某些证明中的策略可能在稍作修改后适用于其他证明。

最后一点值得注意的是，我选择这些证明的顺序。你会发现每个证明都使用了一些之前证明的结果。我选择这个顺序是因为对我个人而言，这样更容易。一个提升这些技能的好练习是问自己“我能否按照不同的顺序组织这些证明并遵循相同的方法？”我强烈建议你尝试按不同的顺序获得这些证明，并用每个证明来获得下一个，因为即使你没有成功，尝试的过程中产生的练习会让你更好地理解证明和逻辑中使用的方法。